1679
правок
Изменения
м
→Равномерно непрерывные отображения: извините, копипаста, но понятная, после экзамена приведу в нормальный вид :)
Тогда <tex> \forall D: A < D < B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D </tex>.
|proof=
Рассмотрим функцию <math>\,g(x)=f(x)-C.</math> Она непрерывна на отрезке <math>\,[a,b]</math> и <math>\,g(a)<0</math>, <math>\,g(b)>0.</math> Покажем, что существует такая точка <math>\,c\in [a,b]</math>, что <math>\,g(c)=0.</math> Разделим отрезок <math>\,[a,b]</math> точкой <math>\,x_0</math> на два равных по длине отрезка, тогда либо <math>\,g(x_0)=0</math> и нужная точка <math>\,c=x_0</math> найдена, либо <math>g(x_0)\neq 0</math> и тогда на концах одного из полученных промежутков функция <math>\,g(x)</math> принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше).
Обозначив полученный отрезок <math>\,[a_1,b_1]</math>, разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке <math>\,c</math>, либо получим последовательность [[Отрезок#Стягивающаяся система сегментов|вложенных отрезков]] <math>\,[a_n,b_n]</math> по длине стремящихся к нулю и таких, что
<math>\,g(a_n)<0<g(b_n).</math>
Пусть <math>\,c</math> - общая точка всех отрезков <math>\,[a_n,b_n]</math>, <math>\,n=1,2,...</math> Тогда <math>c=\lim a_n=\lim b_n,</math> и в силу непрерывности функции <math>\,g(x):</math>
<math>g(c)=\lim g(a_n)=\lim g(b_n).</math>
Поскольку
<math>\lim g(a_n)\le 0\le \lim g(b_n),</math>
получим, что <math>\,g(c)=0.</math>
}}
