74
правки
Изменения
→Препроцессинг
{{Шаблон:Задача|definition == Постановка задачи LCA ==Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.}}
{{Определение
|id=lca_suf_tree|definition = '''Наименьшим общим предком ''' (англ. ''least common ancestor)''' ) двух узлов <tex>u, </tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w,</tex> , который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u,</tex> , так и <tex>v,</tex> , имеет наибольшую глубину.
}}
== Алгоритм ==
=== Идея ===
Будем решать задачу <tex>LCA</tex>, уже умея решать задачу <tex>RMQ</tex>. Тогда поиск наименьшего общего предка <tex>i</tex>-того и <tex>j</tex>-того элементов сводится к запросу минимума на отрезке массива, который будет введен позднее.
=== Препроцессинг ===
\end{cases}</tex>
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.
Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>\mathtt{vtx}</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>\mathtt{I}[u]</tex>, возвращающей индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например на момент входа в вершину).
=== Запрос ===
== Доказательство корректности алгоритма Пример ==Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>дерево на рисунке 1. Пусть узел <tex>w</tex> - наименьший общий предок узлов <tex>uНайдем наименьшего общего предка вершин, vпомеченных красным цветом.</tex> ОчевидноСписок глубин, что получающийся в результате обхода в поддереве с корнем <tex>w</tex> узел <tex>w</tex> будет иметь наименьшую глубину.Осталось доказать, что всегда выполняется неравенство {{---}} <tex>I[u] \le I[w] \le I[v0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0]\;(*).</tex>Пусть вершина Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>u</tex> посещается раньше[2, чем вершина <tex>v.</tex> Тогда1, если вершина <tex>v</tex> не явлется потомком вершины <tex>u0,1].</tex> будет выполняться неравенство <tex>\;(*)</tex> [[Файл:Lca to rmq.png(так как после посещения поддерева, содержащего вершину <tex>u</tex>, в список будет добавлена вершина <tex>w</tex>, а после - вершина <tex>v</tex>2). А если вершина png|thumb|center|400x200px|Рисунок к примеру]]<tex>u</tex> является предком вершины <texdiv style='clear:left;'>v,</tex> то вершина <texdiv>u</tex> будет наименьшим общим предком вершин <tex>u, v</tex>. Очевидно, что неравенство выполняется.
== Сложность ==
== См.также ==
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки Источники информации ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]