315
правок
Изменения
Новая страница: «1) Принцип сжатия Банаха Пусть <tex>X</tex> - B-пространство; пусть <tex>\overline V</tex> — замкнутый шар в …»
1) Принцип сжатия Банаха
Пусть <tex>X</tex> - B-пространство; пусть <tex>\overline V</tex> — замкнутый шар в <tex>X</tex>; <tex>T\colon\overline V \to\overline V</tex>. Оно называется сжатием на этом шаре, если <tex>\exists q \in (0;1); \forall x',x'' \in \overline V</tex>, такое, что <tex>\| Tx''-Tx' \| \le q \|x''-x'\|</tex>
{{Теорема
|statement=
У любого сжимающего отображения существует неподвижная точка <tex>x^*=Tx^*.</tex>
|proof=
<tex>\forall x_0 \in \overline V x_{n+1}=Tx_n</tex>. Тогда <tex>\|x_{n+1}-x_n\|=\|Tx_n-Tx_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\|\le q^n \|x_1-x_0</tex><br>
<tex>x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k),\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k, 0<q<1.</tex><br>
Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим <tex>S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)</tex>. <tex>S_n=x_{n+1}</tex>. Если <tex> S_n \to S</tex>, то <tex>x_n \to S</tex>. Но любое сжатие непрерывно. Это позволяет в <tex>x_{n+1}=Tx_n</tex> перейти к пределу — <tex>S=TS</tex>. Если <tex>Tx'=x', Tx''=x''</tex>, то составим норму их разности: <tex>\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|</tex> и при <tex>\|x''-x' \ne 0</tex> <tex>q \ge 1</tex> — противоречие. <tex>\|x''-x' = 0</tex>, следовательно, <tex>\|x''-x'\|</tex><br>
}}
Пусть <tex>X</tex> - B-пространство; пусть <tex>\overline V</tex> — замкнутый шар в <tex>X</tex>; <tex>T\colon\overline V \to\overline V</tex>. Оно называется сжатием на этом шаре, если <tex>\exists q \in (0;1); \forall x',x'' \in \overline V</tex>, такое, что <tex>\| Tx''-Tx' \| \le q \|x''-x'\|</tex>
{{Теорема
|statement=
У любого сжимающего отображения существует неподвижная точка <tex>x^*=Tx^*.</tex>
|proof=
<tex>\forall x_0 \in \overline V x_{n+1}=Tx_n</tex>. Тогда <tex>\|x_{n+1}-x_n\|=\|Tx_n-Tx_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\|\le q^n \|x_1-x_0</tex><br>
<tex>x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k),\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k, 0<q<1.</tex><br>
Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим <tex>S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)</tex>. <tex>S_n=x_{n+1}</tex>. Если <tex> S_n \to S</tex>, то <tex>x_n \to S</tex>. Но любое сжатие непрерывно. Это позволяет в <tex>x_{n+1}=Tx_n</tex> перейти к пределу — <tex>S=TS</tex>. Если <tex>Tx'=x', Tx''=x''</tex>, то составим норму их разности: <tex>\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|</tex> и при <tex>\|x''-x' \ne 0</tex> <tex>q \ge 1</tex> — противоречие. <tex>\|x''-x' = 0</tex>, следовательно, <tex>\|x''-x'\|</tex><br>
}}
