689
правок
Изменения
м
Базируясь на условии равномерной сходимости}}== Свойства несобственных интегралов, те же три свойства что и для определенных интегралов.зависящих от параметра ==
=== Пункт 2. Повторное интегрирование. ===
Продолжить Поставим задачу: продолжить $ f(n) = n! $ на $ \mathbb{R}_+ $ так, чтобы $ f \in \mathbb{C}^{\infty} (\mathbb{R}_+) $ (бесконечно дифференцируема штоле?) и $ f(n) = n! $.
Нет описания правки
{{В разработке}}
<wikitex>
Пусть $ z = f(x, y), \quad x \ge a, y \in [c; d] $ (можно нарисовать тут полоску). [[Файл:Improper_integral.png]]
Считаем, что f непрерывна в этой полосе.
Сопоставляем два определения, видим $ m \leftrightarrow x $, $ x \leftrightarrow y $. Аналогия важна в том смысле, что доказательство свойств интеграла копирует доказательство соответствующих свойств функциональных рядов.
== Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов==Установим его.
{{Теорема|author=Вейерштрасс|about=Признак равномерной сходимости несобственных интегралов|statement=Пусть $ |f(x, y) | \le g(x) \qquad \forall x \ge 0a, \forall y \in [c; d] $.
Пусть $ \int\limits_a^{\infty} g(x) dx $ - сходится. Тогда соответствующий интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.
|proof=
$ B > A: \left| \int\limits_A^B f(x, y) dx \right| \le \int\limits_A^B |f(x, y)| dx \le \int\limits_A^B g(x) dx $.
Сопоставляя $ \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| < \varepsilon \ \forall y \in [c; d] $, получаем что это и есть равномерная сходимость.
Базируясь на условии равномерной сходимости, докажем те же три свойства, что и для определенных интегралов.
Считаем далее, что интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.
=== Пункт 1. Непрерывность ===$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ (непр. доказываем непрерывность F(y)).
Доказательство ведем по аналогии с рядами.
В силу равномерной сходимострисходимости:
$ \forall \varepsilon > 0: \exists A_0: \forall A \ge A_0: \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| < \varepsilon, \forall y \in [c; d] $. $A = A_0$ - частный случай.
Для нашего $ \varepsilon: \exists \delta > 0: | \Delta y | < \delta $, следовательно, $ \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| $ окажется меньше $ \varepsilon $ по непрерывности.
$ | \Delta y | < \delta \Rightarrow | \Delta F(y) | < 3 \varepsilon $, то есть доказали непрерывность по произвольности $ \varepsilon $что и требовалось доказать. === Повторное интегрирование. ===
Установим формулу повторного интегрирования . Логика действия другая, из-за рассмотрения несобственных интегралов.
В ряде частных случаев, ответ будет положительным.
Если $ f(x, y) $ - непрерывна, $ x \ge a, y \ge c $, считаем, что $ f(x, y) \ge 0 $, то можно утверждать, что существует повторный интеграл справа, существует интеграл справа, и они равныэто действительно выполняется(упражнение средней сложности).
В теории интеграла Лебега будет доказана знаменитая теорема РубиниФубини, связанная с этой тематикой и полностью решает решающая этот вопрос(, но уже на языке интеграла Лебега).
=== Пункт третий. Формула Лейбница? ===
Предположим непрерывность $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - равномерно сходится, $ \int\limits_a^{\infty} f(x, c) dx $ - сходится.
Тогда: $ \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx \right) $ - тоже является формулой это и есть формула Лейбница, которую мы хотим доказать.
Доказываем по аналогии с функциональными рядами.
По предыдущему пункту, меняем порядок интегрирования.
$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^y \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dt $
$ \int\limits_c^y dx \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dt = f(x, y) - f(x, c) $ - по формуле Ньютона - Лейбница.
$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} (f(x, y) - f(x, c)) dx $
$ g(y) = \left( \int\limits_c^{\infty} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $, но $ g(y) = \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $, следовательно, формула доказана.
== Бета- и гаммаГамма-функции Эйлера ==Примечание: Не работают почему-то заглавные греческие буквы. Только гамма работает.
На базе этой достаточно элементарной теории можно определить и исследовать две одни (oO) из самых важных функций функции в анализе - $B$ и $\Gamma$ - функции Эйлера.
Полагаем:
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $. == Гамма-функция ==
Гамма-функция связана с обобщением факториала на $ \mathbb{R} $. $ \sqrt{g g!} = ? $ //щито?
Эта задача рещается Гамма-функцией.
Легко убедиться, что $ \Gamma(n + 1) = n! $:
$ \Gamma (n + 1) = \int\limits_0^{\infty} x^n e^{-x} = - \int\limits_0^{\infty} x^n d(e^{-x}) = \\ = -x^n e^{-x} |_0^{\infty} + n \int\limits_0^{\infty} x^{n - 1} e^{-x} = n \Gamma(n) = \dots = n! \Gamma(1) $
Требуется проверить равномерную сходимость интеграла от частной производной.
Вспоминаем о локальности дифференциирования, поэтому равномерная можно проверить равномерную сходимость проверяется в малом отрезке $ [a - \Delta; a + \Delta] $ - позволяет проверить признак , с помощью признака Вейерштрасса(также проверить отдельно в 0 и отдельно в $ \infty $). {{TODO|t=Проделать в качетсве качестве упражнения}}.
Аналогично, при двойном дифференциировании получаются равномерно сходящиеся интегралы и т.д.
При этом, $ \Gamma(1) = 1, \Gamma(2) = 1 $. По теореме Ролля, для $ c \in (1; 2), \ \Gamma'(c) = 0 $. Но $ f' $ растет, следовательно, такая точка будет только одна, и в точке $ c $ будет минимум.
Очевидно, что $ \Gamma(a) \xrightarrow[a \to + 0] {} {+ \infty }$, $ \Gamma(a) \xrightarrow[a \to + \infty] {} {+ \infty } $.
Можно писать аналогичные формулы, приведенные для Бета-функции, а также связь бета- и гамма-функции с помощью формулы Эйлера:
