Изменения

|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v\; \exists L</tex> реберно непересекающихся путей <tex>\Leftrightarrow</tex> после удаления <tex>\forall L-1</tex> ребер <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.

<=:Назначим каждому ребру пропускную способность 1. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре(по лемме). :По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку (и этот разрез минимален среди всех возможных разрезов). По условию "после «после удаления <tex>\forall L-1</tex> (и в частности тех, что находятся в нашем разрезе) ребер все еще<tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>"», значит пропускная способность разреза <tex>\geqslant L = |f|</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что <tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей (чуть позже дадим аккуратное объяснение этому).

=:<tex>\Rightarrow</tex>:<tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит удалив любых <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.

Небольшой комментарий к доказательству <= tex>\Leftarrow</tex>: ''Если в сети, где все пропускные способности равны 1 существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей. '' Поясним это: найдем какой-нибудь маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах где поток равен 1. Такой маршут обязательно существуеютсуществует, пока величина потока больше 0 (нетрудно показать, что иначе придем к противоречию). Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к потоку величиной <tex>L-1</tex>. Ясно, что можно повторить тоже самое еще <tex>L-1</tex> раз, и, таким образом мы неизбежно выделим <tex>L</tex> реберно непересекающихся маршрутов, что и требуется.