=13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега=
блаБудем рассматривать пространство <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>, считаем, что мера <tex> \mu </tex> — <tex> \sigma </tex>-блаконечная, полная, то есть: <tex> X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p < + \infty </tex> <tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex> Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E (f </tex> обладает свойством <tex> P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно. {{Определение|definition=<tex> a \in \mathbb R </tex>, <tex> E(f < a), E(f \le a), E(f > a), E(f \ge a) </tex> — '''множества Лебега''' функции <tex> f </tex>.}} {{Определение|definition=<tex> f : E \rightarrow \mathbb R </tex> называется '''измеримой по Лебегу''', если для любого <tex> a \in \mathbb R </tex> множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат сигма-блаалгебре).}} {{Утверждение|about=Измеримость по Лебегу|statement=Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \Leftrightarrow </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.|proof=Пусть <tex> E(f < a) </tex> — измеримо для любого <tex> a </tex>. Установим измеримость остальных:# <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f < a + \frac1n) </tex> — тоже измеримо, как счётное пересечение измеримых множеств.# <tex> E(f > a) = \overline{E(f \le a)} </tex> — тоже измеримо.# <tex> E(f \ge a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f > a - \frac1n) </tex> — аналогично, измеримо.}} Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости <tex>f</tex> на <tex>E</tex> следует и измеримость самого <tex>E</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f < n)</tex> Пример измеримой функции — <tex>f(x) = C</tex> на измеримом <tex>E</tex>.
=14. Арифметика измеримых функций=
