|statement=
Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \Leftrightarrow </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.
|proof=
Пусть <tex> E(f < a) </tex> — измеримо для любого <tex> a </tex>. Установим измеримость остальных:
# <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f < a + \frac1n) </tex> — тоже измеримо, как счётное пересечение измеримых множеств.
# <tex> E(f > a) = \overline{E(f \le a)} </tex> — тоже измеримо.
# <tex> E(f \ge a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f > a - \frac1n) </tex> — аналогично, измеримо.
}}
Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости <tex>f</tex> на <tex>E</tex> следует и измеримость самого <tex>E</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f < n)</tex>
Пример измеримой функции — <tex>f(x) = C</tex> на измеримом <tex>E</tex>.
=14. Арифметика измеримых функций=
