1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. И, если при этом, <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то<tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>
|proof=
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению сходимость <tex>aA_n</tex> по определению сходятся, это существование равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, сходимость равносильна сходимости <tex>AA_n</tex> сходится в себе. Значит, <tex>\lim\limits_{n, m \to \infty, m > n} \|A_n - A_m\| \to 0 \Rightarrow iff \|A_n - A_m\| \to 0 \Rightarrow </tex> Пусть <tex>m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j = A_m - A_n</tex>.
<tex>\|A_m - A_n\|^2 = \left\langle \sum\limits_{i=n+1}^m a_i, \sum\limits_{j=n+1}^m a_j \right\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2</tex>
По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 < \infty</tex> <tex>a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \| = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|</tex>
}}
Ценральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>
В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac1frac{1}{\sqrt \pi } \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>
Аналогично, для синусов: <tex>\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)</tex>
<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>
Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=10}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx)</tex> С точностью до <tex>}{\sqrt\pi} ) </tex> получается классический ряд Фурье. {{TODO|t=Здесь где-то ошибка на <tex>= \sqrt\pi</tex>. На лекции обещали, что так будетfrac{a_0(f)}{2} Применим то, что было сказано выше: <tex>+ \sum\limits_{jn =1}^{\infty \langle f, e_j \rangle = e_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2a_0(f) \cos nx + b_n^2b_0(f))\sin nx</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое), то есть абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.
== Теорема Рисса-Фишера ==
{{Теорема
|author=Рисс, Фишер|statement=<tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, то
<tex>\exists x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
|proof=
Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>
Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_j\rangle|^2 \le \|x\|^2</tex> {{TODO|t=зачем модуль?}}
Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в <tex>\mathcal{H}</tex>.
