Изменения

Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E E_{п.п.} \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c(x) c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.  Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.

Для доказательства достаточно проверить справедливость <tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[[Участник:Yulya3102N \rightarrow + \infty]{} 0</Матан#Признак Коши|критерия Коши]].tex>