Изменения

следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму <tex dpi="130">X</tex>. Если Х <tex dpi="130">X = 1</tex>, то менять точно выгодно. если Х <tex dpi="130">X</tex> другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex dpi="150130"> 2X </tex> или <tex dpi="120"> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex dpi="150130"> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может ''равновероятно'' находится <tex dpi="150130"> 2X </tex> или <tex dpi="150130"> X \over 2</tex>. В действительности этого не может быть.

Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex dpi="150130">p(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <tex dpi="150130">p(2^{x_1})</tex> - вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex dpi="150130">2^{x_1}</tex> и <tex dpi="150130">2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. <tex dpi="150130">p(x)</tex> постоянна. Но <tex dpi="150130">\displaystyle \sum_{i=1}^\infty p(2^i) = 1</tex> (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.