174
правки
Изменения
Нет описания правки
|statement = Пусть <tex>F_n^m = \{</tex> все матрицы <tex>A_{[m \times n]} = \begin{Vmatrix} \alpha^i_k \end{Vmatrix},\ \alpha^i_k \in F \}</tex><br>
<tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex>
|proof= '''Шаг 1.''' <tex> \mathcal{A} \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{\longleftrightarrow } A</tex> (единственным образом)
<tex> \{e_i\}_{i=0}^{n}</tex> {{---}} базис <tex>X</tex><tex> ;\quad \{h_k\}_{k=0}^{m}</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>
Рассмотрим <tex>\mathcal{E}_k^i \colon X \to Y </tex> по формуле <tex>\mathcal{E}_k^i \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \xi^{i} h_k; \quad x \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=} \sum\limits_{i=0}^{n} \xi^i e_i</tex>
Матрица <tex>\mathcal{E}^i_k e_j = \sigma^i_j h_k</tex>
<tex>e_j = \begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix} \leftarrow j</tex>
<tex>\mathcal{E}^i_k \longleftrightarrow E^i_k = \begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ & \vdots & \ & \vdots \\
0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ & \vdots & \ & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
\end{pmatrix} \leftarrow h_k \\
</tex>
'''Шаг 2.''' Базис <tex>F_n^m</tex> состоит из таких же матриц
Осталось доказать, что <tex>\{\mathcal{E}_i^k\}_{i = \overline{1, n}}^{k = \overline{1, m}}</tex> {{---}} базис <tex>X \times Y</tex>
}}
== Ссылки ==
