1679
правок
Изменения
→Вопрос №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем
== Вопрос №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем==
Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.
Пусть <tex>H</tex> — линейное пространство. Величина <tex>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным произведением точек множества <tex>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# <tex>(x, x) \ge 0</tex>, <tex>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex>
# <tex>(x, y) = (y, x)</tex>
# <tex>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex>
Базируясь на этом неравенстве, определим норму <tex>\|x\| = \sqrt{(x, x)}</tex>.
Доказанное неравенство треугольника превращает <tex>H</tex> в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют '''гильбертовым пространством'''.
== Вопрос №25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.==
