Изменения

Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''<tex>k</tex>-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную <tex>k</tex>-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную <tex>k</tex>-связность'' и ''вершинно непересекающиеся пути''.

Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее [[Определение сети, потока|теорией потоков]]. Кроме базовых определений нам потребуется понятие [[Дополняющая сеть, дополняющий путь| остаточной сети]] (иначе {{- --}} дополнительной сети), а также [[Теорема_Форда-Фалкерсона|теорема Форда-Фалкерсона]].

Кроме того , потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:

:Для доказательства достаточно рассмотреть [[Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину|алгоритм Форда-Фалкерсона]] для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней {{- --}} читай в соответствующей статье):

:''1.'' # В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой). :''2.'' # В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути. :''3.'' # Повторяем пункт ''<tex>2'' </tex> до тех пор, пока находится хоть какой-то путь в остаточной сети.

И, наконец, сделаем немного более осознаным осознанным в общем-то и так интуитивно-понятное утверждение:

|statement=Если в сети, где все пропускные способности ребер равны <tex>1</tex>, существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей.

: Считаем, что <tex>u</tex> {{- --}} источник, <tex>v</tex> {{--- }} сток.: В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах с потоком равным <tex>1</tex>. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины <tex>u</tex> существуют, не включающее <tex>v</tex>, и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. <tex>f(U,V)=|f|</tex>, смотри [[Разрез, лемма о потоке через разрез|первую лемму]]).

:Итак, найдем какой-нибудь маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах где поток равен <tex>1</tex>. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной <tex>L-1</tex>. Ясно, что можно повторить тоже самое еще <tex>L-1</tex> раз, и, таким образом мы выделим <tex>L</tex> реберно непересекающихся маршрутов.

|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v\; \exists L</tex> реберно непересекающихся путей существует <tex>\LeftrightarrowL</tex> реберно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>\forall (L-1)</tex> ребер <tex>\exists</tex> существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.

:<tex>\Leftarrow</tex> :Как и прежде, пусть <tex>u</tex> {{---}} источник, а <tex>v</tex> {{---}} сток. :Назначим каждому ребру пропускную способность <tex>1</tex>. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме). :По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда, раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза и, существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше <tex>L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что найдется <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей.

:Как и прежде, пусть <tex>u</tex> - источник, а <tex>v</tex> - сток. :Назначим каждому ребру пропускную способность 1. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме). :По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза, и <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Значит пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока <tex>\geqslant L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что <tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей. :<tex>\Rightarrow</tex>:Существует <tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит , удалив любых любые <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает <tex>\exists</tex> , что существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.

|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v\; \exists L</tex> вершинно непересекающихся путей существует <tex>\LeftrightarrowL</tex> вершинно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>\forall (L-1)</tex> вершин <tex>\exists</tex> существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.

:''(все входящие ребра заходят в правую левую вершину, выходящие - исходящие выходят из левойправой. между двумя новыми вершинами добавляем ребро)''

:Кроме того, предложение "удалить в исходном графе любые <tex>\forall L</tex> вершин" можно заменять на "в новом графе можно удалить любые <tex>\forall L</tex> ребер" (достаточно выбирать вершины на концах этих ребер). Можно заменять и обратно, если учесть, что можно удалять ребра между парой вершин, которые раньше были одним целым.

Теоремы для неореинтированного неориентированного графа формулируются идентично, а их докозательства доказательства сводятся к своим ориентированным двойникам путем замены каждого ребра на две дуги:

 ==Смотри См. также==

* [[wikipedia:Menger's theorem | Wikipedia {{---}} Menger's theorem ]] ==ЛитератураИсточники информации==* Ловас Л., Пламмер М. {{---}} '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии''' (глава 2.4 стр. 117) {{---}} 1998. {{---}} 656 с. {{---}} ISBN 5-03-002517-0 * Харари Ф. '''Теория графов.''' глава 5 — М.: Мир, 1973. (глава 2Изд. 3, М.: КомКнига, 2006.4 стр— 296 с. 117)