436
правок
Изменения
Image formatting fixed
== Теорема о гигантской компоненте ==
Перед формулировкой основной теоремы данного раздела, дадим определение некоторых понятий, которые будут использованы в дальнейшем, а также приведем необходимые далее утверждения.
<tex>Y_0 = 1, Y_i = Y_{i - 1} + Z_i - 1</tex>.
}}
Представлять себе описанный только что процесс можно так. В : в начальный момент времени есть одна активная частица. Затем она создает <tex>Z_1 \geq 0</tex> (может быть достигнуто, так как величина <tex>Z_1</tex> равна нулю с положительной вероятностью) активных потомков и перестает быть активной. На следующем шаге все повторяется: какая-то частица (порядок роли не играет) порождает <tex>Z_2</tex> новых частиц, а сама перестает быть активной. И , и так далее. Данный процесс может как завершиться (частицы перестанут быть активными), так и продолжаться бесконечно.<br>
Говоря в терминах данного выше определения, <tex>Y_i</tex> и <tex>Z_i</tex> {{---}} количество активных и порожденных частиц в момент времени <tex>t</tex>, соответственно.
{{Теорема
|id = th1
|about=1
|statement=Пусть <tex>\lambda \leq 1</tex>. Тогда с вероятностью 1 процесс <tex>Y_t</tex> вырождается, т.е. <tex>P(\exists t: Y_t = 0) = 1</tex>.
}}
{{Теорема
|id = th2
|about=2
|statement=Пусть <tex>\lambda \ge 1</tex>. Пусть <tex>\gamma \in (0, 1)</tex> {{---}} единственное решение уравнения <tex>1 - \gamma = e^{-\lambda \gamma}</tex>. Тогда процесс <tex>Y_t</tex> вырождается с вероятностью <tex>1 - \gamma</tex>, т.е. <tex>P(\exists t: Y_t \leq 0) = 1 - \gamma</tex>.
}}
<tex>Y_0 = 1, Y_i = Y_{i - 1} + Z_i - 1</tex>.
}}
Снова зафиксируем какую-нибудь активную вершину <tex>v_2</tex>, и повторим процесс. Не меняем , не меняя статус остальных уже активных вершин.
Продолжая этот ветвящийся процесс, мы в конце концов получим лишь неактивные (образующие компоненту, содержащую <tex>v_1</tex>) и нейтральные вершины.<br>
Обозначим число активных вершин в момент времени <tex>t</tex> через <tex>Y_t</tex>, число нейтральных вершин {{---}} через <tex>N_t</tex>, а число соседей вершины, которую собираемся пометить как неактивную, {{---}} через <tex>Z_t</tex>. Тогда <tex>Y_0 = 1,Y_t = Y_t−1 Y_{t − 1} + Z_t − 1</tex>. Все введенные величины зависят от графа <tex>G</tex> и от последовательности выбираемых вершин <tex>v_1,\dotsc</tex>.
Если <tex>G</tex> посчитать случайным, то при любом выборе вершин <tex>v_1,\dotsc</tex> получатся случайные величины <tex>Y_t, N_t, Z_t</tex> на пространстве <tex>G(n, p)</tex>.
|about=о гигантской компоненте
|statement=Рассмотрим модель <tex>G(n, p)</tex>. Пусть <tex>p = \dfrac{ c }{n}</tex>.
: Если <tex>c < 1</tex>, то найдется такая константа <tex>\beta</tex>, зависящая от <tex>c</tex>, что а.п.н. (асимптотически почти наверное) размер каждой связной компоненты случайного графа не превосходит <tex>\beta \ln n</tex>.: Если же <tex>c > 1</tex>, то найдется такая константа <tex>\gamma</tex>, зависящая от <tex>c</tex>, что а.п.н. в случайном графе есть ровно одна компонента размера <tex>\geq\gamma n</tex>. Размер остальных компонент не превосходит <tex>\beta \ln n</tex>.
|proof=
Приведем здесь идеи<ref>Введение в математическое моделирование транспортных потоков: Учебное пособие/Издание 2-е, испр. и доп. А. В. Гасников и др. Под ред. А. В. Гасникова.{{---}} М.: МЦНМО, 2013 {{---}} C.330-339 {{---}} ISBN 978-5-4439-0040-7</ref>, изложенные А.М. Райгородским, основанные на доказательстве<ref>Karp R. The transitive closure of a random digraph//Random structures and algorithms. 1990. V. 1. P. 73–94.</ref> Р. Карпа. Такой формат позволит понять основные идеи и логику рассуждений. Строгий вариант приведен в <ref name="trueproof">Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007.</ref>.
Здесь и далее: <tex>Binomial</tex> {{---}} биномиальное распределение.
'''Случай <tex>c < 1</tex>'''.
Положим <tex>t_0=[\beta \ln n]</tex>, где <tex>\beta = \beta(c)</tex> {{---}} константа, которую мы подберем позднеекоторая будет подобрана далее. Нам хочется доказать, что с большой вероятностью каждая из компонент случайного графа имеет размер <tex>\le t_0</tex>.Но размер компоненты {{---}} это момент вырождения процесса <tex>Y_t</tex> на случайном графе. Значит, интересующее нас утверждение можно записать в следующем виде: <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty</tex>Поскольку <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \le nP_{n, p}(Y_{t_0} \ge 0)</tex>, достаточно найти такое <tex>\beta</tex>, при котором <tex>P_{n, p}(Y_{t_0} > 0) = o\left(\dfracfrac{1}{n}\right).</tex><br><br>Далее: <tex>P_{n, p}(Y_{t_0} > 0) = P_{n, p}(\xi_{t_o} > \geq t_0) \thickapprox P_{n, p}(Binomial(n, 1 - (1 - p)^{t_0}) > \geq t_0) \thickapprox</tex><br>: (с учетом асимптотики <tex>1 - (1 - p)^{t_0} \thicksim pt_0) </tex><br>: <tex>\thickapprox P_{n, p}(Binomial(n, pt_0) > \geq t_0) \thickapprox</tex><br>: (с учетом центральной предельной теоремы) <br>: <tex> \thickapprox \int\limits_{\frac{t_0 - npt_0}{\sqrt{npt_0(1 - pt_0)}}}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx</tex>.
Поскольку <tex>c < 1</tex>, нижний предел интегрирования имеет порядок <tex>\sqrt{t_0}</tex>. Таким образом, весь интеграл не превосходит величины
'''Случай <tex>c > 1</tex>'''.
В данном случае ветвящийся процесс на графе нужно «запускать» не один раз, а многократно. Только так удается доказать, что почти наверняка а.п.н. хотябы в одном запуске возникнет гигантская компонента. Подробности можно найти в <ref name="trueproof" />, мы же лишь поясним, откуда в текущей ситуации появляется константа <tex>\gamma</tex> из формулировки предыдущей [[#th2|теоремы 2]] и почему она совпадает с одноименной константой из той же теоремы. '''Лучше сделать ссылку на прокрутку статьи вверх, но в целом можно забить. Вообще "предыдущая теорема" - не очень хорошая ссылка'''
Чтобы доказать, что есть гигантская компонента, необходимо, чтобы ветвящийся процесс на графе не вырождался даже
при <tex>t \thickapprox \gamma n</tex>. Иными словами, необходимо, чтобыто есть:<br><tex>P_{n, p}(Y_{t_0t} \le 0)\rightarrow 0, t \thickapprox \gamma n, n \rightarrow \infty</tex>
Так как по условию <tex>p = \dfrac{ c }{n}</tex>, то при <tex>t \thicksim \alpha n</tex> выполнено:
<tex> 1 - (1 - p)^t \thicksim 1 - e^{-pt} \thicksim 1 - e^{-c\alpha}</tex>
Применим центральную предельную теорему к
<tex>P_{n, p}(Y_{t_0t} \le 0)\thickapprox P_{n, p}(Binomial(n, 1 - e^{-c\alpha}) \le \alpha n).</tex>Интегрирование пойдет '''переформулируй''' Пределы интегрирования в данном случае: от минус бесконечности <tex>-\infty</tex> до<tex>\dfrac{\alpha n - n(1 - e^{-c\alpha})}{\sqrt{n(1 - e^{-c\alpha})e^{-c\alpha}}}</tex>.
Если <tex>\alpha < 1 - e^{-c\alpha}</tex>, то мы получим искомое стремление вероятности к нулю.
Если <tex>\alpha > 1 - e^{-c\alpha}</tex>, то вероятность, напротив, будет стремиться к единице.
Таким образом, критическое значение <tex>\alpha</tex>, вплоть до которого есть именно стремление к нулю, {{---}} это решение уравнения <tex>\alpha = 1 - e^{-c\alpha}</tex> или, что равносильно, <tex>1 - \alpha = e^{-c\alpha}</tex>. А это и есть уравнение из предыдущей [[#th2|теоремы2]], если заменить <tex>\lambda</tex> на <tex>c</tex>.
}}
== Обход случайного графа ==
Приведем ряд утверждений, которые будут использованы а дальнейшем. Доказательство опустим ради лаконичности, ихИх доказательство, а также более детальный рассказ можно найти здесь<ref name="chap4">Blum A. Random Graphs // CS 598 Topics in Algorithms (UIUC), 2015. URL: https://www.cs.cmu.edu/~avrim/598/chap4only.pdf</ref>.{{УтверждениеЛемма|id=lemma1|about=1
|statement=Пусть <tex>d > 1</tex>. Тогда вероятность <tex>p</tex>, что <tex>size(cc(v)) = O(\log n)</tex> (<tex>cc</tex> {{---}} компонента связности, содержащая <tex>v</tex>): <tex>p < 1</tex> {{---}} константа.
|proof=Главная идея доказательства, которую мы будем использовать в дальнейшем {{---}} изменение алгоритма поиска в ширину таким образом, чтобы только что открытые вершины были выбраны из множества фиксированного размера. Такая модификация превращает поиск в ширину в ветвящийся процесс.
}}
{{Теорема
|id=th4
|about=4
|statement=Пусть <tex>p = \frac{d}{n}, d > 1</tex>. <br>
}}
=== Поиск в ширину ===
<br>
Чтобы вычислить размер компоненты связности, пройдемся с помощью [[Обход в ширину|поиска в ширину]] по ней, стартуя из произвольной вершины и переходя к очередной неисследованной вершине, только если ребро между ними существует (данный факт необходимо установить независимо от других ребер, с вероятностью <tex>p = \frac{d}{n}</tex>). Если ребро существует, пометим следующую вершину как "открытую". Алгоритм закончит свою работу (обойдет всю компоненту связности), когда множество неисследованных "открытых" вершин станет пустым.
=== Проблема поиска в ширину ===
[[Файл:Bfs_problem_on_random_graph.png|300px|thumb|centerleft|Проблема поиска в ширину на случайном графе]]На данном изображении представлены результаты работы поиска в ширину , начавшемся в вершине <tex>1</tex> на двух графах: в первом у всех ребер <tex>p = 1</tex>, во втором же факт существования ребра определялся по ходу работы алгоритма {{---}} ребра, отмеченные пунктиром, не существуют. Проблема возникает, когда алгоритм просто не доходит до каких-то ребер, не выясняя, существуют они или нет: находясь в вершине <tex>2</tex>, алгоритм не делал запрос о ребре <tex>(2, 3)</tex>, так как у этому моменту вершина <tex>3</tex> уже была исследована. Ребра, которые потенциально могли быть не изученными, помечены на рисунке точечным пунктиром.<br><br><br><br>
<br>
=== Неоткрытые вершины ===
Будем считать шагом алгоритма поиска открытие новой вершины. После первых <tex>i</tex> шагов алгоритма, любая из вершин, кроме стартовой, может быть неоткрытой с вероятностью <tex>p = (1 - \frac{d}{n})^i</tex>. Пусть <tex>z_i</tex> {{---}} число вершин, открытых за первые <tex>i</tex> шагов алгоритма поиска. <tex>z_i</tex> распределены как <tex>Binomial(n − 1,1 − (1 - \frac{d}{n})^i)</tex>.<br>
== Ветвящийся процесс Вероятность исчезновения =='''Наверное, лучше придумать другой заголовок'''=== От поиска в ширину к ветвящимся процессам ===Пользуясь идеями, изложенными в доказательстве [[#lemma1|леммы1]], перейдем от модифицированного поиска в ширину к ветвящемуся процессу. Этот процесс используется для генерации случайных деревьев, возможно, бесконечного размера.<br>{{Определение|definition='''Вероятность исчезновения''' (extinction probability) {{---}} вероятность, того, что дерево ветвящегося процесса будет конечным (процесс завершится через конечное время).}}Рассмотрим натуральное случайное число <tex>y</tex>, обозначающее количество детей потомков у очередной исследованной вершины. Каждый раз это значение выбирается случайно и независимо.<br>Процесс построения дерева заканчивается, образуя конечное дерево, когда у каждой вершины построены все ее "дети" '''Почему сначала не в кавычках, а потом в кавычках? Дай тогда формальное определение. Общая просьба к тексту, кстати, писать чуть более научно, использовать меньше вводных слов и предложений в 3 слова'''потомки. Данный процесс может продолжаться бесконечно. <br>Пусть :* <tex>y \thicksim Binomial(s = n−c_1\log n, \frac{d}{n})</tex>. Пусть <br>* <tex>p′</tex> {{---}} вероятность того, что <tex>size(cc(v)) = O(\log n)</tex> в модифицированном поиске в ширину. Пусть <br>* <tex>q</tex> {{---}} вероятность окончания процесса. <br>Тогда <tex>q \geq p′</tex>, поскольку поиск в ширину, заканчивающийся с <tex> \le c_1\log n</tex> вершинами, приводит к окончанию построения дерева.<br>Пусть <br><tex>p_i = \binom{s}{i}(\frac{d}{n})^i(1 − \frac{d}{n})^{s − i}</tex> {{---}} вероятность, что <tex>y</tex> производит <tex>i</tex> детей. Тогдапотомков, а значит:<br>
<tex>\sum_{i = 0..s}p_i = 1</tex> и <tex>\sum_{i = 0..s}ip_i = E(y) = \frac{ds}{n} > 1</tex>.<br>
<br>Глубина дерева <tex>\geq</tex> количеству не меньше количества вершин. Пусть <tex>a_i</tex> {{---}} , поэтому вероятность того, что процесс закончится с деревом глубины <tex>t</tex>. Имеем, вычисляется по следующей формуле:<br>
<tex>a_t = p_0 + \sum_{i = 1..s}p_ia^i_{t - 1}</tex><br>
=== Вероятность Вычисление вероятности исчезновения ==={{ОпределениеЛемма|definitionid='''Вероятность исчезновения''' (extinction probability) {{---}} вероятность, того, что дерево ветвящегося процесса будет конечным (процесс завершится через конечное время).lemma2}}{{Утверждение|about=2
|statement=Пусть <tex>m > 1</tex>. Пусть <tex>q</tex> {{---}} единственный корень <tex>f(x) = x</tex> на <tex>[0, 1)</tex>. Тогда <tex>f_j(x) = \lim_{j \to \infty}p(j) = q</tex> для <tex>x\in [0,1)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=5|id=th5|statement=Рассмотрим дерево, сгенерированное ветвящимся процессом. Пусть <tex>f(x)</tex> {{---}} производящая функция числа детей потомков каждой вершины, а <tex>k</tex> {{---}} ожидаемое количество потомков в каждой вершине. Тогдаверно следующее:<br># Если ожидаемое количество детей в каждой вершине <tex>\begin{equation*} \begin{cases} k \le 1</tex>, тогда &\text{—$\;$ вероятность исчезновения {{---}} равна 1, если вероятность появления ровно одного ребенка равна <tex>$1</tex>.$;}\\# Если ожидаемое количество детей в каждой вершине <tex> k > 1</tex>, тогда &\text{—$\;$ вероятность исчезновения {{---}} — единственное решение <tex>$f(x) = x</tex> на <tex>,\; x \in [0, 1)$;} \end{cases}\end{equation*}</tex>.
}}
В данной статье нами рассматривается простой случай ветвящегося процесса, в котором распределение количества потомков одинаково для каждой вершины. <br>
Обозначим:
* <tex>q</tex> {{- --}} вероятность исчезновения;<br>* <tex>y \thicksim Binomial(s = n−c_1\log n, \frac{d}{n})</tex> {{---}} количество детей потомков у очередной исследованной вершины;<br>* <tex>p_i = \binom{s}{i}(\frac{d}{n})^i(1 − \frac{d}{n})^{s − i}</tex> {{---}} вероятность, что <tex>y</tex> производит <tex>i</tex> детейпотомков.<br><br>
Для того, чтобы вычислить вероятность исчезновения, воспользуемся [[Производящая функция|производящей функцией]]:<br>
<tex>f(x) = \sum_{i = 0..\infty}p_ix^i,</tex> где <tex>p_i</tex> {{---}} вероятность того, что <tex>y = i</tex><br>
<br>
Так как <tex>q</tex> {{---}} вероятность конечности алгоритма, то, если у корневой вершины <tex>i</tex> потомков, то построение каждого из поддеревьев должно завершиться, и это произойдет с вероятностью <tex>q^i</tex>. Таким образом, : <br>
<tex>q = \sum_{i = 0..\infty}p_iq^i</tex><br>
<tex>x = \sum_{i = 0..\infty}p_ix^i \Leftrightarrow f(x) = x</tex><br>
[[Файл:Extinction_probability_equation_root_random_graph.png|thumb|300px|right|Решение уравнения f(x)=x]]
<br>
Рассмотрим решение данного уравнения на <tex>[0; 1]</tex>. <br>
<tex>x = 1</tex> {{---}} всегда решение данного уравнения, так как <tex>\sum_{i = 0..\infty}p_i1^i = \sum_{i = 0..\infty}p_i = 1 = x</tex>.<br>
# <tex>m > 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> < 1</tex>, но, если <tex>p_0 = 0</tex>, процесс не завершится, так как у каждой вершины найдется по крайней мере один потомок;<br>
Подробное описание доказательств доказательства данного факта, а также самих утверждений можно найти здесь<ref name="chap4" />.
== Вывод ==
Используя результаты, полученные в предыдущей части, сделаем вывод о вероятности окончания работы поиска в ширину на случайном графе <tex>G(n, \frac{d}{n})</tex>. Рассчитав <tex>p_0</tex> и <tex>p_1</tex>, можно сделать следующие выводы:<br>
== См. также ==
[[Категория: Дискретная математика]]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Связность в графах]]
