436
правок
Изменения
Image formatting fixed
=== Проблема поиска в ширину ===
[[Файл:Bfs_problem_on_random_graph.png|300px|thumb|left|Проблема поиска в ширину на случайном графе]]
На данном изображении представлены результаты работы поиска в ширину , начавшемся в вершине <tex>1</tex> на двух графах: в первом у всех ребер <tex>p = 1</tex>, во втором же факт существования ребра определялся по ходу работы алгоритма {{---}} ребра, отмеченные пунктиром, не существуют. Проблема возникает, когда алгоритм просто не доходит до каких-то ребер, не выясняя, существуют они или нет: находясь в вершине <tex>2</tex>, алгоритм не делал запрос о ребре <tex>(2, 3)</tex>, так как у этому моменту вершина <tex>3</tex> уже была исследована. Ребра, которые потенциально могли быть не изученными, помечены на рисунке точечным пунктиром.
<br>
<br>
<br>
=== Неоткрытые вершины ===
Благодаря чему, <tex>q</tex> является корнем уравнения:<br>
<tex>x = \sum_{i = 0..\infty}p_ix^i \Leftrightarrow f(x) = x</tex><br>
[[Файл:Extinction_probability_equation_root_random_graph.png|thumb|300px|right|Решение уравнения f(x)=x]]
<br>
Рассмотрим решение данного уравнения на <tex>[0; 1]</tex>. <br>
Введем обозначения: <tex>k</tex> {{---}} количество потомков вершины, а <tex>m = f'(1)</tex>, тогда <tex>m = f'(1) = \sum_{i = 1..\infty}ip_i = E(k)</tex>.<br>
Кажется, что при <tex>m > 1</tex> дерево будет расти вечно, так как каждая вершина в момент времени <tex>j</tex> должна иметь потомков, однако при <tex>p_0 > 0</tex> с положительной вероятностью у корня может вообще не быть потомков. В исходном <tex>G(n,\frac{d}{n})</tex> <tex>m</tex> играет роль <tex>d</tex>, ввиду того, что <tex>d = E(k)</tex>.<br>
Пользуясь [[#lemma2|леммой 2]] и [[#th5|теоремой 5]], можно доказать, что:<br>
# <tex>m < 1 \vee m = 1 \wedge p_1 < 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> = 1</tex>;<br>
