436
правок
Изменения
м
Отмена правки 75000)
'''Случай <tex>c < 1</tex>'''.
Положим <tex>t_0=[\beta \ln n]</tex>, где <tex>\beta</tex> {{---}} константа, которая будет подобрана далее. Нам хочется доказать, что с большой вероятностью каждая из компонент случайного графа имеет размер , меньший или равный <tex>\le t_0</tex>.
Но размер компоненты {{---}} это момент вырождения процесса <tex>Y_t</tex> на случайном графе. Значит, интересующее нас утверждение можно записать в следующем виде: <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty</tex>
Поскольку <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \le nP_{n, p}(Y_{t_0} \ge 0)</tex>, достаточно найти такое <tex>\beta</tex>, при котором <tex>P_{n, p}(Y_{t_0} > 0) = o\left(\frac{1}{n}\right).</tex><br>
== Обход случайного графа ==
Приведем ряд утверждений, которые будут использованы а в дальнейшем. Их доказательство, а также более детальный рассказ можно найти здесь<ref name="chap4">Blum A. Random Graphs // CS 598 Topics in Algorithms (UIUC), 2015. URL: https://www.cs.cmu.edu/~avrim/598/chap4only.pdf</ref>.
{{Лемма
|id=lemma1
<tex>
\begin{equation*}
\begin{cases} &\text{1) Найдутся такие $c_1, c_2$, что с $p \leq \frac{1}{n}$ $\exists cc: size(cc) \in (c_1\log n; c_2n)$;} \\ &\text{2) Число вершин в компонентах размера $O(\ln n)$ а.п.н. $\leq cn, c < 1$. } \\ & \quad\:\text{Тогда с $p = 1 - o(1)$ существует компонента связности размера $\Omega (n)$;} \\
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
k \le 1 &\text{—$\;$ вероятность исчезновения равна 1, если вероятность } \\ & \;\;\;\;\;\,\text{появления ровно одного ребенка равна $1$;}\\ k > 1 &\text{—$\;$ вероятность исчезновения — единственное решение является }\\&\;\;\;\;\;\,\text{единственным решением $f(x) = x,\; x \in [0, 1)$;}
\end{cases}
\end{equation*}
d < 1\;\vee\; d = 1\;\wedge\; p_1 < 1&\text{—$\;$ процесс завершится с вероятностью один;}\\
d = 1\;\wedge\; p_1 = 1&\text{—$\;$ процесс будет протекать бесконечно;}\\
d > 1&\text{—$\;$ вероятность исчезновения меньше единицы, но, если $p_0 = 0$, процесс не завершится, так как у каждой вершины }\\&\;\;\;\;\;\,\text{найдется по крайней мере один потомок;}\\
\end{cases}
\end{equation*}
