Изменения

{{Определение==Теорема о существовании простого пути в случае существования пути==[[Файл:Simple way.png|definitionthumb|250px|center|Ориентированный граф. <font color='''Простой (#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой) путь''' . <font color=#3771c8ff>Синим</font> {{---}} реберно-простой путь.]]{{Теорема|statement=Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами графа – ]] существует [[Основные определения теории графов|путь]] , то между нимисуществует [[Основные определения теории графов|вершинно-простой путь]].|proof ==== Конструктивное доказательство ===Рассмотрим путь: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 \ldots e_nv_n</tex> между вершинами <tex>v_0</tex> и <tex>v_n</tex>, в котором каждая причём <tex>v_0 \neq v_n</tex>. Возьмем <tex>v_i</tex> {{---}} вершина на данном пути. Если она лежит на данном пути более одного раза, то она принадлежит какому-то (не обязательно простому) циклу <tex>v_ie_{i+1}v_{i+1}e_{i+2} \ldots v_{j=i}</tex>. Удалим этот цикл. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём <tex>v_0 \ldots v_n</tex>, но не будет содержать найденный цикл. Начнём процесс с вершины <tex>v_0</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа встречается не более одного раза, а значит, будет вершинно-простым. === Неконструктивное доказательство ===Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины. {{Утверждение|statement = Допустим, что выбранный путь не является простым}}Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <tex>v_i = v_j</tex>, <tex>i < j</tex>. Удалим из исходного пути отрезок от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь {{---}} простой.

 {{ОпределениеУтверждение|definitionstatement = Данная теорема не верна для случая <tex>v_0 =v_n</tex>.'''Длина пути''' – количество вершин|proof = В данном случае мы не сможем найти вершинно-простой путь, входящих так как путь начинается и заканчивается в последовательность, задающую этот путьодной и той же вершине.

{{Теорема|statement== Замечания ==Если между двумя вершинами графа существует * Так как вершинно-простой путьвсегда является рёберно-простым, то между ними существует простой путьданная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.* Теорема может быть сформулирована как для [[Основные определения теории графов|proof=Возьмём любой из существующих путей <math>V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n</math>. Для вершины <math>V_i</math> найдём момент её последнего вхождения в путь – <math>V_j</math> – и, если <math>i \neq j</math>, удалим отрезок пути от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от <math>V_0</math> до <math>V_n</math>ориентированного]], так и в нём вершина <math>V_i</math> будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины <math>V_0</math> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин неориентированного графа не более одного раза, а значит, будет простым.

''Альтернативное[[Категория:''Выберем из всех путей в графе путь наименьшей длины. Пусть он не простой; тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <math>V_i</math> Алгоритмы и <math>V_j</math>, <math>i < j</math>. Удалим из исходного пути отрезок от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Конечная последовательность также будет путём и станет короче исходной. Значит, исходный путь не был кратчайшим; предположение неверно, выбранный путь – простой.структуры данных]]}}[[Категория: Основные определения теории графов]]