Изменения

Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами графа ]] существует [[Основные определения теории графов|путь]], то между ними существует [[Основные определения теории графов|вершинно-простой путь]].|proof=Для доказательства этой теоремы введём два определения=== Конструктивное доказательство ===Рассмотрим путь: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 \ldots e_nv_n</tex> между вершинами <tex>v_0</tex> и <tex>v_n</tex>, причём <tex>v_0 \neq v_n</tex>. Возьмем <tex>v_i</tex> {{---}} вершина на данном пути. Если она лежит на данном пути более одного раза, то она принадлежит какому-то (не обязательно простому) циклу <tex>v_ie_{i+1}v_{i+1}e_{i+2} \ldots v_{j=i}</tex>. Удалим этот цикл. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём <tex>v_0 \ldots v_n</tex>, но не будет содержать найденный цикл. Начнём процесс с вершины <tex>v_0</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет вершинно-простым.

=== Неконструктивное доказательство ===Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины. {{ОпределениеУтверждение|definitionstatement =Допустим, что выбранный путь не является простым}}'''Простой (вершинно-простой) путь''' между двумя вершинами графа – путь между нимиТогда в нём содержатся две одинаковые вершины <tex>v_i = v_j</tex>, в котором каждая <tex>i < j</tex>. Удалим из вершин графа встречается исходного пути отрезок от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не более одного разакратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь {{---}} простой.

 {{ОпределениеУтверждение|definitionstatement = Данная теорема не верна для случая <tex>v_0 =v_n</tex>.'''Длина пути''' – количество рёбер|proof = В данном случае мы не сможем найти вершинно-простой путь, входящих так как путь начинается и заканчивается в последовательность, задающую этот путьодной и той же вершине.

==Замечания = Доказательство построением === Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: <math>V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n</math>. Алгоритм: 1. Для вершины <math>V_i</math> найдём момент её последнего вхождения в * Так как вершинно-простой путь – <math>V_j</math>. 2. Удалим отрезок всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от <math>V_0</math> до <math>V_n</math>* Теорема может быть сформулирована как для [[Основные определения теории графов|ориентированного]], так и в нём вершина <math>V_i</math> будет содержаться ровно один раз.Начнём процесс с вершины <math>V_0</math> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин неориентированного графа не более одного раза, а значит, будет простым. === Альтернативное ===Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.

Предположение: Пусть он не простой.Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <math>V_i = V_j</math>, <math>i < j</math>= См. Удалим из исходного пути отрезок от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <math>V_0</math> до <math>V_n</math> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь – простой.==* [[Основные определения теории графов]]}}* [[Теорема о существовании простого цикла в случае существования цикла]]