Теоретический минимум по математической логике за 3 семестр

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск


Содержание

1. Исчисление высказываний, общие определения. Таблицы истинности. Общезначимость.[править]

Определение:
Одним из базовых понятий логики высказываний является пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание


Определение:
Языком исчисления высказываний мы назовем язык [math]L[/math], порождаемый следующей грамматикой со стартовым нетерминалом <выражение>:
  • <выражение> ::= <импликация>
  • <импликация> ::= <дизъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\rightarrow[/math] <импликация>
  • <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\vee[/math] <конъюнкция>
  • <конъюнкция> ::= <терм> [math]|[/math] <конъюнкция> [math]\&[/math] <терм>
  • <терм> ::= <пропозициональная переменная> [math]|[/math] (<выражение>) [math]|[/math] [math]\neg[/math] <терм>


Определение:
Высказывание - любая формула, порожденная данными грамматиками.


TODO: таблицы истинности


Определение:
Назовем выражение общезначимым, если его оценка истинна при любой оценке входящих в него пропозициональных переменных. Запись: [math]\models \alpha[/math].


2. Доказуемость. Аксиомы исчисления высказываний. Корректность исчисления высказываний.[править]

TODO: Доказуемость


Определение:
Формальная система - упорядоченная тройка [math]\langle L, A, R \rangle[/math], где [math]L[/math] --- некоторый язык, [math]A \subset L[/math] --- множество аксиом, а [math]R \subset (L^2 \cup L^3 \cup ...)[/math] - множество правил вывода


Определение:
Исчисление высказываний - формальная система, использующая в качестве языка язык исчисления высказываний, в качестве аксиом - следующие схемы выражений:
  • [math](\phi) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\phi))[/math]
  • [math]((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\pi))[/math]
  • [math](\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi) \& (\psi)[/math]
  • [math](\phi) \& (\psi) \rightarrow (\phi)[/math]
  • [math](\phi) \& (\psi) \rightarrow (\psi)[/math]
  • [math](\phi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)[/math]
  • [math](\psi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)[/math]
  • [math]((\phi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \vee (\psi) \rightarrow (\pi))[/math]
  • [math]((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow \neg (\psi)) \rightarrow \neg (\phi)[/math]
  • [math]\neg \neg (\phi) \rightarrow (\phi)[/math]
, а правила вывода - все правила, порожденные согласованной заменой букв в [math]\langle{}\phi, (\phi) \rightarrow (\psi), \psi\rangle[/math].


TODO: Корректность исчисления высказываний

3. Вывод из допущений. Теорема о дедукции.[править]

TODO: вывод из допущений

Будем обозначать буквами [math]\Gamma, \Delta, \Sigma[/math] списки формул (возможно, пустые).


Определение:
Пусть [math]\Gamma[/math] - некоторые список высказываний, [math]\alpha[/math] - некоторое высказывание в исчислении [math]\langle L, A, R \rangle[/math]. Тогда будем говорить, что [math]\alpha[/math] выводится из [math]\Gamma[/math] (запись: [math]\Gamma \vdash \alpha[/math]), если существует доказательство [math]\alpha[/math] в исчислении [math]\langle L, A_1, R \rangle[/math], где [math]A_1[/math] - это [math]A[/math] с добавленными формулами из [math]\Gamma[/math]. Элементы [math]\Gamma[/math] называются допущениями, предположениями, или гипотезами.


Теорема:
Пусть справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]
Теорема (о дедукции):
Пусть справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math].

4. Теорема о полноте исчисления высказываний.[править]

5. Исчисление предикатов. Общезначимость и выводимость.[править]

6. Теорема о дедукции в исчислении предикатов. Корректность и полнота исчисления предикатов.[править]

7. Натуральный вывод. Секвенциальное исчисление предикатов. Устранение сечений.[править]

8. Интуиционизм. Интуиционистское исчисление высказываний. Модели Крипке.[править]

9. Теории первого порядка, примеры. Структуры и модели.[править]

10. Аксиоматика Пеано. Формальная арифметика.[править]

11. Рекурсивные функции и отношения. Реализация операций сложения, умножения, ограниченного вычитания.[править]

12. Выразимость отношений и преставимость функций в формальной арифметике. Представимость примитивов Z, N, U и S.[править]

13. Бета-функция Геделя. Представимость рекурсивных функций в формальной арифметике.[править]

14. Геделева нумерация. Выводимость и рекурсивные функции.[править]

15. Непротиворечивость и омега-непротиворечивость. Первая теорема Геделя о неполноте арифметики.[править]

16. Первая теорема Геделя в форме Россера. Вторая теорема Геделя о неполноте арифметики.[править]

17. Теория множеств. Парадоксы. Аксиоматика Цермело-Френкеля (равенство множеств, конструктивные аксиомы)[править]

18. Аксиоматика Цермело-Френкеля (аксиомы бесконечности, выбора, подстановки, фундирования).[править]

19. Ординальные и кардинальные числа, мощность множества.[править]