Теоретический минимум по математической логике за 3 семестр — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
[[Категория: В разработке]]
 
[[Категория: В разработке]]
  

Текущая версия на 19:17, 4 сентября 2022


Содержание

1. Исчисление высказываний, общие определения. Таблицы истинности. Общезначимость.

Определение:
Одним из базовых понятий логики высказываний является пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание


Определение:
Языком исчисления высказываний мы назовем язык [math]L[/math], порождаемый следующей грамматикой со стартовым нетерминалом <выражение>:
  • <выражение> ::= <импликация>
  • <импликация> ::= <дизъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\rightarrow[/math] <импликация>
  • <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\vee[/math] <конъюнкция>
  • <конъюнкция> ::= <терм> [math]|[/math] <конъюнкция> [math]\&[/math] <терм>
  • <терм> ::= <пропозициональная переменная> [math]|[/math] (<выражение>) [math]|[/math] [math]\neg[/math] <терм>


Определение:
Высказывание - любая формула, порожденная данными грамматиками.


TODO: таблицы истинности


Определение:
Назовем выражение общезначимым, если его оценка истинна при любой оценке входящих в него пропозициональных переменных. Запись: [math]\models \alpha[/math].


2. Доказуемость. Аксиомы исчисления высказываний. Корректность исчисления высказываний.

TODO: Доказуемость


Определение:
Формальная система - упорядоченная тройка [math]\langle L, A, R \rangle[/math], где [math]L[/math] --- некоторый язык, [math]A \subset L[/math] --- множество аксиом, а [math]R \subset (L^2 \cup L^3 \cup ...)[/math] - множество правил вывода


Определение:
Исчисление высказываний - формальная система, использующая в качестве языка язык исчисления высказываний, в качестве аксиом - следующие схемы выражений:
  • [math](\phi) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\phi))[/math]
  • [math]((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\pi))[/math]
  • [math](\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi) \& (\psi)[/math]
  • [math](\phi) \& (\psi) \rightarrow (\phi)[/math]
  • [math](\phi) \& (\psi) \rightarrow (\psi)[/math]
  • [math](\phi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)[/math]
  • [math](\psi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)[/math]
  • [math]((\phi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \vee (\psi) \rightarrow (\pi))[/math]
  • [math]((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow \neg (\psi)) \rightarrow \neg (\phi)[/math]
  • [math]\neg \neg (\phi) \rightarrow (\phi)[/math]
, а правила вывода - все правила, порожденные согласованной заменой букв в [math]\langle{}\phi, (\phi) \rightarrow (\psi), \psi\rangle[/math].


TODO: Корректность исчисления высказываний

3. Вывод из допущений. Теорема о дедукции.

TODO: вывод из допущений

Будем обозначать буквами [math]\Gamma, \Delta, \Sigma[/math] списки формул (возможно, пустые).


Определение:
Пусть [math]\Gamma[/math] - некоторые список высказываний, [math]\alpha[/math] - некоторое высказывание в исчислении [math]\langle L, A, R \rangle[/math]. Тогда будем говорить, что [math]\alpha[/math] выводится из [math]\Gamma[/math] (запись: [math]\Gamma \vdash \alpha[/math]), если существует доказательство [math]\alpha[/math] в исчислении [math]\langle L, A_1, R \rangle[/math], где [math]A_1[/math] - это [math]A[/math] с добавленными формулами из [math]\Gamma[/math]. Элементы [math]\Gamma[/math] называются допущениями, предположениями, или гипотезами.


Теорема:
Пусть справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]
Теорема (о дедукции):
Пусть справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math].

4. Теорема о полноте исчисления высказываний.

5. Исчисление предикатов. Общезначимость и выводимость.

6. Теорема о дедукции в исчислении предикатов. Корректность и полнота исчисления предикатов.

7. Натуральный вывод. Секвенциальное исчисление предикатов. Устранение сечений.

8. Интуиционизм. Интуиционистское исчисление высказываний. Модели Крипке.

9. Теории первого порядка, примеры. Структуры и модели.

10. Аксиоматика Пеано. Формальная арифметика.

11. Рекурсивные функции и отношения. Реализация операций сложения, умножения, ограниченного вычитания.

12. Выразимость отношений и преставимость функций в формальной арифметике. Представимость примитивов Z, N, U и S.

13. Бета-функция Геделя. Представимость рекурсивных функций в формальной арифметике.

14. Геделева нумерация. Выводимость и рекурсивные функции.

15. Непротиворечивость и омега-непротиворечивость. Первая теорема Геделя о неполноте арифметики.

16. Первая теорема Геделя в форме Россера. Вторая теорема Геделя о неполноте арифметики.

17. Теория множеств. Парадоксы. Аксиоматика Цермело-Френкеля (равенство множеств, конструктивные аксиомы)

18. Аксиоматика Цермело-Френкеля (аксиомы бесконечности, выбора, подстановки, фундирования).

19. Ординальные и кардинальные числа, мощность множества.