Изменения

{{Определение

|definition=

}}

{{Определение

|definition=

}}

{{Теорема

|author=

}}

{{Теорема

|author=

}}

{{Определение

|definition=

}}

{{Теорема

|author=Вейерштрасс

}}

{{Теорема

}}

{{Теорема

|statement=

}}

{{Теорема

|statement=

}}

{{Теорема

|statement=

}}

{{Лемма

|author=Абель

}}

{{Определение

|definition=

}}

{{Теорема

|statement=

}}

Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинтегрированных или продифференцированных рядов?"

}}

<wikitex>

Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $.

</wikitex>

Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы <tex> r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>

<wikitex>

$e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $

</wikitex>

<wikitex>

$\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$

$\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

</wikitex>

<wikitex>

$ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $

</wikitex>

<wikitex>

$ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $

</wikitex>

{{Утверждение

|statement=

}}

{{Определение

|definition=

<tex>\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|</tex>

{{Определение

|definition=

}}

Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.

Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем: <tex>\sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2</tex> располагается ближе всего к <tex>\|x\|^2</tex>, если <tex>l_k</tex> — ряд Фурье <tex>x</tex>.

{{Определение

|definition=

}}

{{Определение

|definition=

}}

{{Определение

|definition=

}}

{{Определение

|definition=

}}

{{Определение

|definition=

}}

{{Утверждение

|about=

}}

{{Теорема

|statement=

}}

{{Теорема

}}

{{Определение

|definition=

}}

{{Определение

|definition=

}}

<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>

{{Теорема

|author=

}}

{{Теорема

|statement=

}}

Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.

}}

<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex>

{{Определение

|definition=

}}

{{Теорема

|about=

}}

<tex>z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)</tex>. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:

<tex>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум''' функции <tex>f</tex>, если для всех <tex>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''.

<wikitex>

Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.

</wikitex>

<wikitex>

Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $.

</wikitex>

<wikitex>

$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $

</wikitex>

<wikitex>

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $

</wikitex>

<wikitex>

$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \left( \int\limits_c^{y} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $

</wikitex>

<wikitex>

$ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $

</wikitex>

<tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex>

если <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex> \Pi </tex>, то существует <tex>\iint\limits_\Pi f</tex>(достаточное условие интегрируемости).

Если <tex>\Pi</tex> разбито на конечное число прямоугольников <tex>p</tex>, и они не имеют общих внутренних точек, то:

* <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \in \mathbb N : m \leq p \ \exists \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>

* <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>

А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ

{{Определение

|definition=

}}

{{Теорема

|statement=

}}

А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ

<tex>\int \int dx dy = \int \int | J(u, v) | du dv </tex>

<tex>\mathcal{J}(u_1, \ldots, u_n) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \\\end{array}\right| \ne 0</tex>

<tex>\int\limits_E f(\bar x) d \bar x = \int\limits_{E'} f(\bar x(\bar u)) |\mathcal{J}(\bar u)| d \bar u</tex>