1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.
{{Определение
|definition=
Пусть $X$ — линейное пространство, $M$ — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda M\}$.
}}
Заметим, что если $M, N$ — радиальны и $M \subset N$, то $p_N(x) \le p_M(x)$.
Пример:
* $X$ — НП, $V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\|$, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.
{{Утверждение
|statement=
Если $M$ — закругленное радиальное выпуклое множество, $p_M(X)$ — полунорма на $X$.
|proof=
$p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y)$
$\exists \lambda > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon$, $p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon$, $x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M$. Рассмотрим $\alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2}$, заметим, что $\alpha + \beta = 1$, из выпуклости получим, что $\alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M$, то есть $ p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < (p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon $, сделав предельный переход, получим $p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y)$.
$p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x)$ проверяется аналогично.
}}
{{Теорема
|author=Колмогоров
|statement=
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность. (TODO: к чему это?)
|proof=
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то $V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \}$
TODO: далее я что-то не особенно осознал, что происходит(
В обратную: пусть $V$ — ограниченная выпуклая окрестность нуля. $W$ — радиальная закр. (TODO что значит закр.?) окрестность 0: $W \subset V$, $\mathrm{Cov} W $ — выпуклая оболочка, $V$ — выпуклая, $\mathrm{Cov} W \subset V$, $\mathrm{Cov} W$ — радиальное закр. множество, так как $W$ — такое же. Из ограниченности $V$ следует ограниченность $\mathrm{Cov} W$.
То есть, мы построили $V^* = \mathrm{Cov} W$ — радиальное закр. выпуклую TODO пшшш. $V^* \to p_{V^*}$ — функционал Минковского — полунорма. $V^*$ ограничено, тогда $\{ {1 \over n} V^* \}$ — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0$, то есть $p_{V^*}$ — норма, а $\{ {1 \over n} V^*\}$ — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.
}}
