Изменения

Докажем, что для заданной точки <tex>w</tex> число таких точек <tex>a</tex>, что <tex>w</tex> лежит в окружности с центром в точке <tex>a</tex>, проходящей через ближайшую к <tex>a</tex> точку на предыдущем уровне, равно <tex>O(1)</tex>. Разделим плоскость на шесть частей прямыми, проходящими через точку <tex>w</tex> ({{TODO|t=А зачем делить? Почему нельзя рассмотреть сразу всю плоскость?}}). Рассмотрим одну из частей. Отсортируем все точки, попавшие в неё, по увеличению расстояния до <tex>w</tex>. Получим такую последовательность точек <tex>\{a_0, a_1, ...\}</tex>, что <tex>|wa_i|\le|wa_{i+1}|</tex>. Заметим, что если какая-нибудь точка <tex>a_i</tex> содержится на предыдущем уровне, то все точки, начиная с <tex>a_{i+1}</tex> уже не содержат в своей окружности точку <tex>w</tex>. Таким образом, среднее число точек <tex>k</tex>, в окружности которых содержится точка <tex>w</tex>:

Таким образом, каждая точка содержится в <tex>O(1)</tex> окружностей, значит, каждая окружность содержит <tex>O(1)</tex> точек. {{TODO|t=А вот это я не очень понял}}