Изменения
→Задача
Упрощение полигональной цепи {{---}} процесс, позволяющий уменьшить число точек полилинии.
==Задача==
Дана некоторая полилиния, заданная последовательностью точек <tex> a_1, a_2, ..., a_n</tex>, и некоторое <tex>\varepsilon</tex>. Требуется найти цепь <tex> a_1, a_i, a_j, ..., a_n </tex>, для которой являющейся подпоследовательностью исходной. Для этой цепи верно, что для всех <tex>k</tex>, таких что <tex> i < k < j:</tex> <tex> distance\rho(a_k, Segment(a_i, a_j)) \le \varepsilon</tex> для любых соседних <tex>i</tex> и <tex>j</tex>.
Существует также альтернативная задача, в которой вместо <tex>\varepsilon</tex> задано число <tex>k</tex> вершин в итоговой цепи, . В этом случае требуется составить цепь <tex> a_1, a_i, a_j, ..., a_n </tex> заданной длины таким образом, что максимально необходимое <tex>\varepsilon</tex> для условия <tex> distance\rho(a_k, Segment(a_i, a_j)) \le \varepsilon</tex> было минимально. Также упрощение можно выполнять с помощью введения новой полилинии, не сохраняющей точки исходной, но такая вариация задачи рассмотрена не будет.
==Мотивация==
Такая задача встречается при обработки векторной графики и построении карт. Например, есть цепь, несколько точек которой попадают в один и тот же пиксель. Очевидно, что тогда можно упростить все эти точки в одну. В этом случае и пригодится упрощение, одним из вариантов реализации которого является алгоритм Дугласа-Пекера (Douglas-Peucker).
В случае, когда у нас есть несколько устройств с разным dpi, например, монитор и принтер, то, взяв за <tex>\varepsilon</tex> половину расстояния, которое помещается на одной из границ пикселя, мы можем адаптировать растеризовать одну и ту же цепь для разных устройств.
==Алгоритм Дугласа-Пекера==
Алгоритм рекурсивно делит полилинию. Входом алгоритма служат координаты всех точек между первой и последней включая их, а так же <tex>\varepsilon</tex>. Первая и последняя точка сохраняются неизменными. После чего алгоритм находит точку, наиболее удалённую от отрезка, состоящего из первой и последней (оптимальный способ поиска расстояния от точки до отрезка рассмотрен ниже). Если точка находится на расстоянии, меньше, чем <tex>\varepsilon</tex>, то все точки, которые ещё не были отмечены к сохранению, могут быть выброшены из набора, и получившаяся прямая сглаживает кривую с точностью не ниже <tex>\varepsilon</tex>.
Если же расстояние больше <tex>\varepsilon</tex>, то алгоритм рекурсивно вызывает себя на наборе от начальной до данной и от данной до конечной точек (это означает, что данная точка будет отмечена к сохранению).
По окончанию всех рекурсивных вызовов итоговая полилиния строится только из тех точек, что были отмечены к сохранению.
| <tex>9</tex> || Алгоритм завершен
|}
Полилиния, полученная в результате работы алгоритма, отражается черной пунктирной линией.
===Время работы===
Ожидаемая сложность алгоритма может быть оценена выражением <tex>\Theta(n\log n)</tex> в лучшем случае, когда номер наиболее удаленной точки всегда оказывается лексикографически центральным. Однако, в худшем случае сложность алгоритма составляет <tex>O(n^2)</tex>. Это достигается, апримернапример, в случае, если номер наиболее удаленной точки всегда соседний к номеру граничной точки.
===Замечания к алгоритму===
К сожалению, алгоритм Дугласа-Пекера в ходе своей работы не сохраняет топологию. Это означает, что в ответе мы можем получить линию с самопересечениями.
В статье де Берга (de Berg) ''[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/deberg95new.pdf "A New Approach to Subdivision Simplification"]''(1995) приведен алгоритм, позволяющий решать чуть более общую задачу, чем текущая: упрощение полигональной цепи с учетом обязательных особых точек, не входящих в нее и с учетом топологии. Можно использовать алгоритм и для текущего случая, задав множество особых точек пустым. Время работы алгоритма при этом составит <tex>O(n^2\log n)</tex>. Краткое описание алгоритма дано ниже.
====Оптимальность====
===Решение альтернативной задачи===
====Реализация====
Практически очевидно, что данный вариант алгоритма легко реализовать на приоритетной очереди. Будем хранить расстояние, на котором находится наиболее удаленная вершина, как ключ, а номера вершин-границ как значение. На каждой итерации мы выбираем обьект с наибольшим ключем, делим и получившиеся части кладем обратно в очередь с новыми ключами.
===Реализация===
[[Файл:DistancePtoSDistancePtoS1.png|400px|right]]Даны точка <tex>(x_0, y_0)O</tex> и отрезок, заданный точками <tex>(x_1, y_1)A</tex> и <tex>(x_2, y_2)B</tex>.
Введём обозначения:
*<tex>R_1</tex> {{---}} отрезок <tex>[(x_0, y_0)O; (x_1, y_1)A]</tex>*<tex>R_2</tex> {{---}} отрезок <tex>[(x_0, y_0)O; (x_2, y_2)B]</tex>*<tex>R_{12}</tex> {{---}} отрезок <tex>[(x_1, y_1)A; (x_2, y_2)B]</tex>
Если:
*<tex>|R_1| \ge \sqrt{|R_2|^2+|R_{12}|^2}</tex>, то ответ это <tex>|R_2|</tex>, так как угол между <tex>R_2</tex> и <tex>R_{12}</tex> при данном условии <tex> \ge 90^{\circ}</tex>
*<tex>|R_2| \ge \sqrt{|R_1|^2+|R_{12}|^2}</tex>, то ответ это <tex>|R_1|</tex>, так как угол между <tex>R_1</tex> и <tex>R_{12}</tex> при данном условии <tex> \ge 90^{\circ}</tex>
*Оба предыдущих условия ложны, то <tex>\operatorname{abs} (\frac{| \overrightarrow{R_{12}} \times \overrightarrow{R_1}|}{|\overrightarrow{R_{12}}|})</tex>, где <tex> \overrightarrow{R_{12}} = (x_2 B -x_1, y_2 - y_1)A</tex> и <tex> \overrightarrow{R_1} = (x_1 - x_0, y_1 A - y_0)O</tex>. Это следует из формул для площади параллелограмма через векторное произведение и через произведения основания на высоту
<br clear="all"/>
==Обзор ускорения работы алгоритма Дугласа-Пекера==
Как описано выше, в худшем случае алгоритм работает за <tex>O(n^2)</tex>. Можно внести дополнения, которые позволят получить <tex>O(n\log n)</tex> в худшем случае. Ускорение основывается на уменьшении времени поиска наиболее удаленной вершины. Это можно осуществить благодаря идее о том, что наиболее удаленная вершина лежит на выпуклой оболочке полигональной цепи. Описание ускорения взято из статьи Хершберга(Hershberger) ''[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/hershberger92speeding.pdf "Speeding Up the Douglas-Peucker Line-Simplification Algorithm"]'' (1992).
Для построения выпуклой оболочки используется [http://www.ams.sunysb.edu/~jsbm/courses/545/melkman.pdf алгоритм Мелкмана], который работает для двумерной полигональной цепи без самопересечений за <tex>O(n)</tex>, строя все промежуточные выпуклые оболочки, которые пригодятся в дальнейшем.
В итоге получается, что в худшем случае <tex>O(n)</tex> разбиений за <tex>O(\log n)</tex> и поиск за <tex>O(\log n)</tex>, что дает <tex>O(n\log n)</tex>.
==Алгоритм Реуманна-Виткама==
[[Файл:Pw2.png|200px|right]]
[http://psimpl.sourceforge.net/reumann-witkam.html Алгоритм Реуманна-Виткама ] (Reumann-Witkam) определяет прямую через первые две точки цепи, последняя из последовательных точек начиная со второй, удаленных небольше чем на <tex>\varepsilon</tex>, соединяются прямой, а все промежуточные точки исключаются.
Алгоритм продолжится последовательно для оставшихся точек до тех пор, пока не будет достигнута последняя.
==Алгоритм Опхейма==
[[Файл:Op.png|200px|left]]
[http://psimpl.sourceforge.net/opheim.html Алгоритм Опхейма ] (Opheim) несколько схож с алгоритмом Реуманна-Виткама. В этом алгоритме мы рассматриваем все вершины в <tex>\varepsilon</tex> радиусе от первой, и строим луч из текущей и последней, попавшей в радиус. Если таких точек нет, то берется следующая за исходной.
Последующие вершины упрощаются до тех пор, пока их расстояние до луча превосходит <tex>\varepsilon</tex> и радиальное расстояние до первой точки превосходит <tex>\varepsilon</tex>. Затем алгоритм продолжается для оставшихся точек до тех пор, пока не будет достигнута последняя.
==Алгоритм Ланга==
[[Файл:La.png|200px|right]]
[http://psimpl.sourceforge.net/lang.html Алгоритм Ланга ] (Lang) определяет фиксированный размер поисковой области для упрощения. Две точки, что образуют поисковую область, составляют отрезок. Этот отрезок используется для расчета перпендикулярного расстояния до каждой промежуточной точки. Если рассчитанное расстояние больше заданного <tex>\varepsilon</tex>, область поиска будет уменьшен путем исключения ее последней точки.
Этот процесс будет продолжаться, пока все рассчитанные расстояния не будут ниже заданного <tex>\varepsilon</tex>, или когда нет больше промежуточных точек. Все промежуточные точки удаляются, а новая область поиска определяется, начиная с последней точки в старой области.
<br clear="all"/>
==Алгоритм , сохраняющий топологию==
Алгоритм сохраняющий топологию, как было упомянуто ранее, содержится в статье де Берга A New Approach to Subdivision Simplification, где расскрываются также детали реализации, здесь же описывается идея алгоритма. Также стоит обратить внимание, что исходная полигональная цепь должна быть без самопересечений.
Алгоритм делится на четыре основных этапа:
*Создание графа <tex>G_1</tex>, в котором помимо исходных ребер, добавлены все возможные сокращенные ребра. Иначе говоря ребра, для который верно, что <tex>i < j</tex> и для любого <tex>t</tex>, такого что <tex>i < t < j</tex>, верно <tex>distance\rho(V_t, \overline{V_iV_j}) \le \varepsilon</tex>.*Создание графа <tex>G_2</tex>, в котором добавлены все возможные ребра, с учетом того, что каждое новое добаленное ребро не пересечет любое из предыдущихнарушающие топологию. На этом этапе построение выполняется без учета <tex>\varepsilon</tex>.
*Создание графа <tex> G = G_1 \cap G_2</tex>, в котором будет содержаться кратчайшая полигональная цепь без самопересечений по построению <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>.
*Поиск кратчайшего пути в <tex>G</tex>, как в невзвешенном графе, этот путь и будет являться ответом на задачу.
*[http://pers.narod.ru/algorithms/pas_dist_from_point_to_line.html Поиск расстояния от точки до отрезка]
*[http://algolist.manual.ru/maths/geom/distance/pointline.php Поиск расстояния от точки до прямой]
*[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/hershberger92speeding.pdf "Speeding Up the Douglas-Peucker Line-Simplification Algorithm"]*[http://www.ams.sunysb.edu/~jsbm/courses/545/melkman.pdf Алгоритм Мелкмана]
*[http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0203/algorithm_0203.htm Алгоритм Мелкмана]
*[http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0112/algorithm_0112.htm Двоичный поиск на выпуклой оболочке]
*[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/deberg95new.pdf "A New Approach to Subdivision Simplification"]
*[http://www.codeproject.com/Articles/114797/Polyline-Simplification#headingRD Алгоритмы и визуализатор упрощения полигональной цепи]
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
