Изменения
→Задача
Упрощение полигональной цепи {{---}} процесс, позволяющий уменьшить число точек полилинии.
==Задача==
Дана некоторая полилиния, заданная последовательностью точек <tex> a_1, a_2, ..., a_n</tex>, и некоторое <tex>\varepsilon</tex>. Требуется найти цепь <tex> a_1, a_i, a_j, ..., a_n </tex>, являющейся подпоследовательностью исходной, для которой . Для этой цепи верно, что для всех <tex>k</tex>, таких что <tex> i < k < j:</tex> <tex>\rho(a_k, Segment(a_i, a_j)) \le \varepsilon</tex> для любых соседних <tex>i</tex> и <tex>j</tex>.
Существует также альтернативная задача, в которой вместо <tex>\varepsilon</tex> задано число <tex>k</tex> вершин в итоговой цепи, . В этом случае требуется составить цепь <tex> a_1, a_i, a_j, ..., a_n </tex> заданной длины таким образом, что максимально необходимое <tex>\varepsilon</tex> для условия <tex> \rho(a_k, Segment(a_i, a_j)) \le \varepsilon</tex> было минимально.
Также упрощение можно выполнять с помощью введения новой полилинии, не сохраняющей точки исходной, но такая вариация задачи рассмотрена не будет.
| <tex>9</tex> || Алгоритм завершен
|}
Полилиния, полученная в результате работы алгоритма, отражается черной пунктирной линией.
===Время работы===
К сожалению, алгоритм Дугласа-Пекера в ходе своей работы не сохраняет топологию. Это означает, что в ответе мы можем получить линию с самопересечениями.
В статье де Берга (de Berg) ''[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/deberg95new.pdf "A New Approach to Subdivision Simplification"]''(1995) приведен алгоритм, позволяющий решать чуть более общую задачу, чем текущая: упрощение полигональной цепи с учетом обязательных особых точек, не входящих в нее и с учетом топологии. Можно использовать алгоритм и для текущего случая, задав множество особых точек пустым. Время работы алгоритма при этом составит <tex>O(n^2\log n)</tex>. Краткое описание алгоритма дано ниже.
====Оптимальность====
===Решение альтернативной задачи===
Решение альтернативной задачи очень схоже с исходном алгоритмом. На каждой итерации алгоритм находит подучасток исходной цепи, на котором расстояние до наиболее удаленной точки максимально, делит ее так же как и в исходном алгоритме и запоминает полученные в результате деления подучастки для следующий следующих итераций. Алгоритм стартует, когда для выбора доступна только исходная цепь.
====Реализация====
Практически очевидно, что данный вариант алгоритма легко реализовать на приоритетной очереди. Будем хранить расстояние, на котором находится наиболее удаленная вершина, как ключ, а номера вершин-границ как значение. На каждой итерации мы выбираем обьект с наибольшим ключем, делим и получившиеся части кладем обратно в очередь с новыми ключами.
==Обзор ускорения работы алгоритма Дугласа-Пекера==
Как описано выше, в худшем случае алгоритм работает за <tex>O(n^2)</tex>. Можно внести дополнения, которые позволят получить <tex>O(n\log n)</tex> в худшем случае. Ускорение основывается на уменьшении времени поиска наиболее удаленной вершины. Это можно осуществить благодаря идее о том, что наиболее удаленная вершина лежит на выпуклой оболочке полигональной цепи. Описание ускорения взято из статьи Хершберга(Hershberger) ''[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/hershberger92speeding.pdf "Speeding Up the Douglas-Peucker Line-Simplification Algorithm"]'' (1992).
Для построения выпуклой оболочки используется [http://www.ams.sunysb.edu/~jsbm/courses/545/melkman.pdf алгоритм Мелкмана], который работает для двумерной полигональной цепи без самопересечений за <tex>O(n)</tex>, строя все промежуточные выпуклые оболочки, которые пригодятся в дальнейшем.
Алгоритм делится на четыре основных этапа:
*Создание графа <tex>G_1</tex>, в котором помимо исходных ребер, добавлены все возможные сокращенные ребра. Иначе говоря ребра, для который верно, что <tex>i < j</tex> и для любого <tex>t</tex>, такого что <tex>i < t < j</tex>, верно <tex>distance\rho(V_t, \overline{V_iV_j}) \le \varepsilon</tex>.
*Создание графа <tex>G_2</tex>, в котором добавлены все возможные ребра, не нарушающие топологию. На этом этапе построение выполняется без учета <tex>\varepsilon</tex>.
*Создание графа <tex> G = G_1 \cap G_2</tex>, в котором будет содержаться кратчайшая полигональная цепь без самопересечений по построению <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>.
*[http://pers.narod.ru/algorithms/pas_dist_from_point_to_line.html Поиск расстояния от точки до отрезка]
*[http://algolist.manual.ru/maths/geom/distance/pointline.php Поиск расстояния от точки до прямой]
*[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/hershberger92speeding.pdf "Speeding Up the Douglas-Peucker Line-Simplification Algorithm"]
*[http://www.ams.sunysb.edu/~jsbm/courses/545/melkman.pdf Алгоритм Мелкмана]
*[http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0203/algorithm_0203.htm Алгоритм Мелкмана]
*[http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0112/algorithm_0112.htm Двоичный поиск на выпуклой оболочке]
*[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/deberg95new.pdf "A New Approach to Subdivision Simplification"]
*[http://www.codeproject.com/Articles/114797/Polyline-Simplification#headingRD Алгоритмы и визуализатор упрощения полигональной цепи]
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
