Участник:Rybak/Матан

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Подготовка к экзамену по матану в четвертом семестре[править]

Определение ряда Фурье[править]

L_p[править]

Определение:
[math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math].

То есть,

[math]L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math].


Определение:
Систему функций [math] 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math] называют тригонометрической системой функций.


Утверждение:
При [math] n \ne m [/math] :

[math] \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0[/math],

[math] \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi [/math].


Определение:
Тригонометрическим рядом называется ряд:

[math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math].

Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.


Теорема:
Пусть тригонометрический ряд [math] \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math] сходится в [math] L_1 [/math] и имеет суммой функцию [math] f [/math]. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье: [math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx [/math].


Определение:
Пусть функция [math] f \in L_1 [/math]. Ряд Фурье [math] f [/math] — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.