Участник:Rybak/Матан — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Содержимое страницы заменено на «= Подготовка к экзамену по матану в четвертом семестре =»)
 
Строка 1: Строка 1:
= Подготовка к экзамену по матану в четвертом семестре =
+
= ''Подготовка к экзамену по матану в четвертом семестре'' =
 +
 
 +
= Определение ряда Фурье =
 +
 
 +
== L_p ==
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.
 +
 
 +
То есть,
 +
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition = Систему функций <tex> 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex>  называют '''тригонометрической системой функций'''.
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
При <tex> n \ne m </tex> :
 +
<tex> \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\  \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0</tex>,
 +
<tex> \int\limits_Q dx = 2\pi,\  \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
 +
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
 +
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:
 +
 
 +
<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
 +
}}

Текущая версия на 00:11, 24 июня 2012

Подготовка к экзамену по матану в четвертом семестре

Определение ряда Фурье

L_p

Определение:
[math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math].

То есть,

[math]L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math].


Определение:
Систему функций [math] 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math] называют тригонометрической системой функций.


Утверждение:
При [math] n \ne m [/math] :

[math] \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0[/math],

[math] \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi [/math].


Определение:
Тригонометрическим рядом называется ряд:

[math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math].

Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.


Теорема:
Пусть тригонометрический ряд [math] \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math] сходится в [math] L_1 [/math] и имеет суммой функцию [math] f [/math]. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье: [math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx [/math].


Определение:
Пусть функция [math] f \in L_1 [/math]. Ряд Фурье [math] f [/math] — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.