Изменения

Например, в случае двух множеств <mathtex>~A, B</mathtex> формула включения-исключения имеет вид:

<mathtex> | A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |</mathtex>

В сумме <mathtex>~| A | + | B |</mathtex> элементы пересечения <mathtex>A \cap B</mathtex> учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем <mathtex> | A \cap B |</mathtex> из правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна из диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств, приведенной на рисунке справа.

Таким же образом и в случае <math>~n>2</math> множеств процесс нахождения количества элементов объединения <mathtex>A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n</mathtex> состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.

|statement=Пусть <mathtex> A = \bigcup_{i=1}^{n}A_i </mathtex> , тогда по формуле включения-исключения: <center> <mathtex> | A | = \sum_{I=(i_1,i_2, \ldots ,i_k) \subset \{ 1,2, \ldots ,n \} } (-1)^{k+1} \Big| \bigcap_{ j \in I } A_j \Big| </mathtex> </center>

||proof=Для случая <mathtex>~n=1</math> и <math>~n=2</mathtex> теорема, очевидно, верна.

Теперь рассмотрим <mathtex>~n>2</mathtex>:

<mathtex> A = \bigcup_{i=1}^{n}A_i = \Bigg( \underbrace {\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i}_{B} \Bigg) \cup A_n </mathtex>

<mathtex> | B | = \sum_{I \subset \{ 1,2, \ldots ,n-1 \} } (-1)^{|I|+1} \Big| \bigcap_{ j \in I } A_j \Big| </mathtex>

<mathtex> | A | = | B | + | A_n | - | B \cap A_n |</mathtex>

<mathtex> \Big| B \bigcap A_n \Big| = \Bigg| \Bigg( \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i \Bigg) \bigcap A_n \Bigg|= \Bigg| \bigcup_{i=1}^{n-1} \bigg( A_i \bigcap A_n \bigg) \Bigg| = </mathtex>

<mathtex> = \sum_{I \subset \{ 1,2, \ldots ,n-1 \} } (-1)^{|I|+1} \bigg| \bigcap_{ j \in I } \Big( A_j \bigcap A_n \Big) \bigg| = \sum_{I \subset \{ 1,2, \ldots ,n-1 \} } (-1)^{|I|+1} \Big| \bigcap_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \Big| </mathtex>

<mathtex> | A | = | A_n| + \Bigg( \sum_{I \subset \{ 1,2, \ldots ,n-1 \} } (-1)^{|I|+1} \Big| \bigcap_{ j \in I } A_j \Big| \Bigg) - \Bigg( \sum_{I \subset \{ 1,2, \ldots ,n-1 \} } (-1)^{|I|+1} \Big| \bigcap_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \Big| \Bigg) = \sum_{I \subset \{ 1,2, \ldots ,n \} } (-1)^{|I|+1} \Big| \bigcap_{ j \in I } A_j \Big| </mathtex>