Изменения

Различают '''конечные и бесконечные ''' цепные дроби. Любая конечная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\frac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.}} Цепная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle </tex> представима в виде <tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} </tex>.Отсюда видим, что <tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} = a_0 + \frac{[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} </tex>.Следовательно <tex> [a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.{{Лемма|statement=В <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> <tex>F_{n+1}</tex> слагаемых.|proof=База <tex>[a_0] = a_0</tex> - одно слагаемое. <tex>[a_0, a_1] = a_0*a_1 + 1</tex> - два слагаемых.Переход. Пусть верно, что в <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> <tex>F_{n+1}</tex> слагаемых. Докажем, что в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+2}</tex> слагаемых.<tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}] = a_0[a_1,\cdots, a_{n+1}] + [a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> В <tex>[a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> нет <tex> a_0 </tex>. Значит в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+1}+F_n = F_{n+2}</tex> слагаемых.

Обобщим последнюю формулу == Цепные дроби для рациональных чисел =={{Main|Связь цепных дробей и докажем по индукцииалгоритма Евклида}}Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Пусть верно : Кроме того, последовательность <tex>a_i</tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_k][a_{k+1},\cdots, a_n]+[a_0,\cdots, a_{k-1--}][a_{k+2}это ровно та последовательность частных, \cdots, a_nкоторая получается при применении [[алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]]</tex>к числителю и знаменателю дроби.

Докажем для больших == Цепные дроби как приближение к числу =={{Main|Цепные дроби как приближение к числу|Сходимость цепных дробей}}Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях <tex> k a_i</tex> : , удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как <tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i^2}</tex>.

<tex> [a_0, \cdots, a_k][a_== Периодичность цепных дробей =={{k+1Main|Периодичность цепных дробей},\cdots, a_n]+[a_0,\cdots, a_{k-1}]Цепная дробь [a_{k+2}, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_kквадратичная иррациональность|квадратичной иррациональности](a_{k+1}[a_{k+2}, \cdots, a_n]+[a_{k+3}, \cdots, a_n])+[a_0,\cdots, a_{k-1--}][a_{k+2}периодична, \cdots, a_n] = (a_а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности {k+1}[a_0, \cdots, a_k] + [a_0,\cdots, a_{k-1--}])[a_{k+2}, \cdots, a_n]+[a_0, \cdots, a_k][a_{k+3}, \cdots, a_n]</tex>чисто периодична.

Используя условие теоремы для == Примеры разложения чисел в цепные дроби ==* <tex>k \frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\langle 1, 2, 2 \rangle< n-/tex>* <tex> \sqrt{2} = 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=\langle 1, 2, 2, \cdots \rangle</tex> получаем :

== Свойства цепных дробей =={{Main|Свойства цепных дробей}}Цепную дробь <tex> a_{k+1}[\langle a_0, a_1, a_2, \cdots, a_k] + a_n \rangle</tex> можно записать в виде частного двух полиномов<tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_{k-1a_n]}] = a_{k+1}[a_ka_1, \cdotsa_2, a_0] + [a_{k-1}a_3, \cdots, a_0a_n] = [a_{k+1}</tex>,\cdots, a_0] = где <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_a_n]</tex> {k{---}} некоторый полином от <tex>n+1}]</tex>переменной.

Следовательно получаем Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам: * <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> {{---}} полином от <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> мономов.* <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.* <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{n-2}a_n]= [a_0, a_1,\cdots, a_{n-1}, ]a_n]+[a_0, a_1,\cdots, a_{n-32}]</tex>.* <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-21}, \cdots, a_0](a_</tex>Для числителей и знаменателей <tex>n</tex>-ой подходящей дроби верны следующие формулы:* <tex>P_n = P_{n-1}a_n + 1) + a_n[a_P_{n-32}, \cdots, a_0]</tex>* <tex>Q_n =a_n[a_Q_{n-1},\cdots, a_0] a_n + [a_Q_{n-2}, \cdots, a_0] = [a_n, \cdots, a_0]</tex>.* <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}</tex>