221
правка
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
<tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\cdots \rangle = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;</tex><br />
где <tex>a_0</tex> есть целое число и все остальные <tex>a_n</tex> натуральные числа.
Различают '''конечные и бесконечные ''' цепные дроби. Любая конечная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\frac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.}} Цепная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle </tex> представима в виде <tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} </tex>.Отсюда видим, что <tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} = a_0 + \frac{[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} </tex>.Следовательно <tex> [a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.{{Лемма|statement=В <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> <tex>F_{n+1}</tex> слагаемых.|proof=База <tex>[a_0] = a_0</tex> - одно слагаемое. <tex>[a_0, a_1] = a_0*a_1 + 1</tex> - два слагаемых.Переход. Пусть верно, что в <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> <tex>F_{n+1}</tex> слагаемых. Докажем, что в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+2}</tex> слагаемых.<tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}] = a_0[a_1,\cdots, a_{n+1}] + [a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> В <tex>[a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> нет <tex> a_0 </tex>. Значит в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+1}+F_n = F_{n+2}</tex> слагаемых.
}}
== Свойства цепных дробей =={{Main|Свойства цепных дробей}}Цепную дробь <tex> a_{k+1}[\langle a_0, a_1, a_2, \cdots, a_k] + a_n \rangle</tex> можно записать в виде частного двух полиномов<tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_{k-1a_n]}] = a_{k+1}[a_ka_1, \cdotsa_2, a_0] + [a_{k-1}a_3, \cdots, a_0a_n] = [a_{k+1}</tex>,\cdots, a_0] = где <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_a_n]</tex> {k{---}} некоторый полином от <tex>n+1}]</tex>переменной.
[[Категория: Теория чисел]]