Цепная дробь — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
== Определение ==
 
== Определение ==
 
{{Определение
 
{{Определение

Текущая версия на 19:12, 4 сентября 2022

Определение

Определение:
Цепная дробь — это выражение вида

[math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\cdots \rangle = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;[/math]
где [math]a_0[/math] есть целое число и все остальные [math]a_n[/math] натуральные числа.

Различают конечные и бесконечные цепные дроби. Любая конечная дробь [math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle[/math] представима в виде некоторой рациональной дроби [math]\frac{P_n}{Q_n}[/math], которую называют n-ой подходящей дробью.


Цепные дроби для рациональных чисел

Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Кроме того, последовательность [math]a_i[/math] — это ровно та последовательность частных, которая получается при применении алгоритма Евклида к числителю и знаменателю дроби.

Цепные дроби как приближение к числу

Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях [math]a_i[/math], удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как [math]|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| \lt \frac{1}{Q_i^2}[/math].

Периодичность цепных дробей

Цепная дробь квадратичной иррациональности — периодична, а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности — чисто периодична.

Примеры разложения чисел в цепные дроби

  • [math] \frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\langle 1, 2, 2 \rangle[/math]
  • [math] \sqrt{2} = 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=\langle 1, 2, 2, \cdots \rangle[/math]

Свойства цепных дробей

Основная статья: Свойства цепных дробей

Цепную дробь [math]\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle[/math] можно записать в виде частного двух полиномов [math] \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]}[/math], где [math][a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n][/math] — некоторый полином от [math]n+1[/math] переменной.

Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам:

  • [math][a_0,\cdots, a_n][/math] — полином от [math]n+1[/math] переменной, состоящий из [math]F_{n+1}[/math] мономов.
  • [math][a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n][/math].
  • [math][a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_{n-2}][/math].
  • [math][a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] [/math]

Для числителей и знаменателей [math]n[/math]-ой подходящей дроби верны следующие формулы:

  • [math]P_n = P_{n-1}a_n + P_{n-2}[/math]
  • [math]Q_n = Q_{n-1}a_n + Q_{n-2}[/math]
  • [math]P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}[/math]