Изменения

===РасширенияРазложения===

'''РасширениемРазложением''' числа <tex>x</tex> называется такое его представление <tex>x = x_n + x_{n-1} + \dots + x_1</tex>, где каждое <tex>x_i</tex> выражено <tex>p</tex>-битным числом с плавающей точкой и называется '''компонентой''' этого расширенияразложения.

Расширение Разложение называется '''неперекрывающимся (несмежным)''', если все его компоненты взаимно не перекрываются (не являются смежными).

Как правило, расширения разложения должны быть неперекрывающимися, а их компоненты должны быть упорядочены от большей к меньшей по величине (то есть <tex>x_n</tex> - большая). Далее будут рассматриваться именно такая их форма.

Стоит отметить, что число может быть представлено несколькими возможными неперекрывающимися расширениямиразложениями: $1100 + -10.1 = 1001 + 0.1 = 1000 + 1 + 0.1$.

Неперекрывающиеся расширения разложения нужны, например, для того, чтобы быстро вычислять знак выражения (смотрим знак большей по размеру компоненты), или для грубой оценки значения всего расширения разложения (берем большую по величине компоненту).

Важной базовой операцией во всех алгоритмах, основанных на представлении чисел в виде расширенийразложений, является сумма двух <tex>p</tex>-битных величин, результатом которой является расширение разложение длины два. Есть два алгоритма для выполнения этой задачи - алгоритмы Деккера и Кнута.

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> есть <tex>p</tex>-битные числа, причем <tex>|a| \geqslant |b|</tex>. Тогда следующий алгоритм вернет неперекрывающееся расширение разложение <tex>x + y</tex> такое, что <tex>a + b = x + y</tex>, где <tex>x</tex> - приближение (аппроксимация) суммы <tex>a + b</tex>, а <tex>y</tex> представляет собой ошибку округления при вычислении <tex>x</tex>. (Аналогично для вычитания).

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> есть <tex>p</tex>-битные числа, причем <tex>p > 3</tex>. Тогда следующий алгоритм вернет неперекрывающееся расширение разложение <tex>x + y</tex> такое, что <tex>a + b = x + y</tex>, где <tex>x</tex> - приближение (аппроксимация) суммы <tex>a + b</tex>, а <tex>y</tex> представляет собой ошибку округления при вычислении <tex>x</tex>.

Пример работы последнего алгоритма, когда $|a| < |b|$ и $|a| < |x|$. Сумма $11.11 + 1101$ будет представлена в виде расширения разложение $10000 + 0.11$.

===Суммирование расширенийразложений===

Базируясь на алгоритмах сложения двух <tex>p</tex>-битных чисел, описанных выше, можно предложить алгоритмы суммирования расширенийразложений. В этой статье их будет предложено два: $\mathrm {ExpansionSum}$ и $\mathrm {FastExpansionSum}$. Первый алгоритм прибавляет к m-элементному расширению разложению n-элементное расширение разложение за время <tex>O(mn)</tex>, в то время, как последний алгоритм делает это за <tex>O(n + m)</tex>.

Несмотря на такое различие в асимптотике, первый алгоритм на практике может оказаться быстрее на расширениях разложениях, чей размер мал и фиксирован, потому что программные циклы могут быть полностью развернуты, а косвенные расходы времени исчезают, так как можно отказаться от использования массива). Линейный же алгоритм имеет определенные условия, при которых подобные оптимизации невозможны.

ExpansionSum имеет свойство, что если входные данные были неперекрывающимися (несмежными), то и на выходе мы получим расширения разложения с соотв.свойством.

Как правило, общим недостатком алгоритмов работы с расширениями разложениями является то, что в расширении разложении на выходе могут быть нулевые элементы, даже если в исходном расширении разложении их не было. Например, если подать на вход расширениея разложениея $1111 + 0.0101$ и $1100 + 0.11$, то результатом будет $11100 + 0 + 0 + 0.0001$. К счастью, алгоритмы, описанные в этой статье хорошо справляются с этой проблемой.

Перед описанием алгоритмов суммирования расширений разложений, приведем алгоритм прибавления к расширению разложению <tex>p</tex>-битного числа.

Пусть $e = \sum^{m}_{i=1}e_i$ - неперекрывающееся $m$-компонентное расширение разложение; $b$ - $p$-битное число, где $p \geqslant 3$. Предполагается, что $e_1, e_2, \dots, e_m$ отсортированы в '''возрастающем''' порядке, причем все компоненты ненулевые. Тогда следующий алгоритм вернет такое расширение разложение $h$, что $h = \sum^{m + 1}_{i=1}h_i = e + b$, где компоненты $h$ также отсортированы в возрастающем порядке и не равны нулю. Алгоритм также сохраняет свойство несмежности/неперекрываемости.

Каждая их первых $m$ компонент расширения разложения $h$ не больше чем соответствующая компонента из $e$, то есть $|h_i| \leqslant |e_i|$. Более того, $|h_1| \leqslant |b|$.

Пусть $e = \sum^{m}_{i=1}e_i$ и $f = \sum^{n}_{i=1}f_i$ - неперекрывающиеся $m$- и $n$-компонентные расширения разложения, компоненты которых - $p$-битные числа, где $p \geqslant 3$. Предполагается, что компоненты обоих расширений разложений отсортированы в '''возрастающем''' порядке, причем все компоненты ненулевые. Тогда следующий алгоритм вернет такое расширение разложение $h$, что $h = \sum^{m + n}_{i=1}h_i = e + f$, где компоненты $h$ также отсортированы в возрастающем порядке и не равны нулю. Алгоритм также сохраняет свойство несмежности/неперекрываемости.

В отличие от $\mathrm {ExpansionSum}$, $\mathrm {FastExpansionSum}$ не сохраняет свойства неперекрываемости и несмежности, но гарантирует, что если если входное расширение разложение было ''строго неперекрывающимся'', то на выходе получится расширение разложение с таким же свойством.

Расширение Разложение называется '''строго неперекрывающимся''', если если его компоненты попарно неперекрываются, ни одна компонента не смежна никаким двум другим, а также любая пара смежных компонент состоит из степеней двойки.

'''Например''', $11000 + 11$ и $10000 + 1000 + 10 + 1$ - строго неперекрывающиеся расширения разложения, а $11100 + 11$ и $100 + 10 + 1$ - нет.

Для расширения разложения эта характеристика означает, что ноль в записи расширения разложения должен появляться ''как минимум'' каждые $p + 1$ бит. Например, расширениеразложение, каждая компонента которого есть $p$-битное число, и максимальная величина которой равна $1111$, может быть не больше $1111.01111011110\dots$.

Каждое несмежное расширение разложение является строго неперекрывающимся, а также каждое строго неперекрывающееся расширение разложение есть неперекрывающееся. В общем случае, обратное не верно.

Утверждается, что после предположения о том, что все расширения разложения строго неперекрывающиеся, алгоритм, приведенный ниже, корректно работает на машинах с округлением до ближайшего четного.

Пусть $e = \sum^{m}_{i=1}e_i$ и $f = \sum^{n}_{i=1}f_i$ - строго неперекрывающиеся $m$- и $n$-компонентные расширенияразложения, компоненты которых - $p$-битные числа, где $p \geqslant 4$. Предполагается, что компоненты обоих расширений разложений отсортированы в '''возрастающем''' порядке, причем все компоненты ненулевые. Тогда следующий алгоритм,запущенный на машине с правилом округления до ближайшего четного, вернет такое расширение разложение $h$, что $h = \sum^{m + n}_{i=1}h_i = e + f$, где компоненты $h$ также отсортированы в возрастающем порядке и не равны нулю. Алгоритм также сохраняет свойство несмежности/неперекрываемости.