Straight skeleton

Эта статья находится в разработке!

Существует целый класс структур типа [math]\mathrm{skeleton}[/math], которые описывают базовые топологические свойства объектов. Структура [math]\mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton}[/math] была придумала Oswin Aichholzer. Она используются в различных практических задачах (проектирование крыш для зданий) и для доказательства некоторых теорем.

Топологические свойства

Определение:

Straight skeleton (Angular Bisector Network, ABN) полигона без самопересечений называется планарный граф, определяющий разбиение полигона на регионы, границами которых являются стороны полигона, биссектрисы углов и отрезки, соединяющие вершины straight skeleton, образовавшиеся в результате сжатия полигона.

Опишем подробней, как получается такое разбиение. Мы можем представить, будто все стороны прямоугольника параллельно двигаются внутрь с одинаковой постоянной скоростью, то есть многоугольник как бы сжимается внутрь. Тогда вершины будут двигаться вдоль биссектрис , а точки пересечения биссектрис будут соединять совпавшие участки сторон прямоугольника в конце движения. В каждый момент времени от начала движения рёбер мы получаем слоистую структуру (рис 1.). На рис. 2 синим цветом выделен [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] — множество отрезков, образованных точками пересечения при движении сторон полигона. Чем-то структура похожа на строение крыши в домах (рис. 3). И для решения этой задачи как раз [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] и может применяться: по стенам здания необходимо спроектировать его крышу.

Проектирование крыши здания по готовым стенам

Процесса стягивания многоугольника продолжается до тех пор, пока происходят его топологические изменения, то есть меняется число вершин в стянутом многоугольнике, и таким образом появляются новые вершины дерева [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math]. Существуют два типа изменений, в ходе которых образуются новые вершины дерева:

• [math] Edge\ event [/math] — данное изменение происходит, когда сторона многоугольника полностью стягивается, делая соседние стороны инцидентными.
• [math] Split\ event [/math] происходит, когда ребро разбивается на два новых ребра, исходящих из точки преломления старого. Такое событие происходит на биссектрисе вогнутой вершины многоугольника. И тогда стягиваемая многоугольником область разбивается на две непересекающиеся многоугольные области.

На рисунке [math] edge\ event' [/math]ы изображён красным кругом, а [math] split\ event' [/math]ы — чёрным прямоугольником.

Таким образом, [math] event' [/math]ы соответствуют внутренним вершинам [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math], гранями являются области многоугольника, заметаемые сторонами многоугольника в процессе стягивания, дуги [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] соединяют либо две внутренние вершины либо внутреннюю вершину с листом — вершиной многоугольника.

Стоит также отметить, что в общем случае [math] split\ event'[/math]ы могут быть нетривиальными. На рисунке ниже в случае [math] (c) [/math] в вершине [math] p [/math] совпали [math]split\ event[/math] из вершины [math] u [/math] и [math] edge\ event[/math] ребра [math] e [/math], а в случае [math] (d) [/math] совпали два [math] split\ event'[/math]а вершин [math] u_1 [/math] и [math] u_2 [/math]. Случаи [math] (a) [/math] и [math] (b) [/math] — простые [math] edge [/math] и [math] split\ event'[/math]ы.

Свойства Straight skeleton

Из процесса построения [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] следует, что он является планарным графом. Ранее уже упоминалось, что он также является деревом. Будем обозначать [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] простого полигона без самопересечений [math] P [/math], в котором [math] n [/math] вершин, как [math] S(P) [/math]. Тогда справедливы следующие леммы:

Лемма (1):

[math] S(P) [/math] является деревом, содержит [math] n [/math] граней, не более [math] n - 2 [/math] внутренние вершины и не более [math] 2 n - 3 [/math] рёбер.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Каждая грань [math] f(e) [/math] начинает образовываться во время стягивания ребра [math] e [/math], и даже если на ребре произошёл [math] split\ event [/math], сама грань не могла разделиться. Построение грани [math] f(e) [/math] завершается, когда ребро [math] e [/math] полностью стягивается. И это ребро дальше не может появиться снова, поэтому граней в [math] S(P) [/math] столько, сколько сторон в многоугольнике, то есть ровно [math] n [/math]. То, что [math] S(P) [/math] является деревом, легко доказывается по индукции. База верна, когда внутренняя вершина всего одна. Тогда у [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] листьями будут вершины многоугольника. Такой граф очевидным образом будет деревом. Если в [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton}\ k [/math] внутренних вершин, то рассмотрим самый первый [math] edge\ event[/math]. Он закончился в какой-то внутренней вершине [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math], у неё есть смежные листья — вершины, инцидентные этому ребру, — и из неё достижимы другие [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton}' [/math]ы, с не более чем [math] k - 1 [/math] внутренними вершинами, и они являются деревьями по предположению индукцию. Тогда получаем, что [math] S(P) [/math] для [math] k [/math] вершин тоже будет деревом. Внутренние вершины в [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] имеют степень не меньше [math] 3 [/math] — простой перебор всех случаев [math] event'[/math]ов (степень будет больше, если в одной вершине совпало несколько событий). Так как [math] S(P) [/math] имеет [math]n[/math] листьев, то внутренних вершин будет не больше [math] n - 2 [/math], а так как [math] S(P) [/math] является деревом, то рёбер у него будет не более [math] 2 n - 3 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: если мы рассмотрим [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] в какой-то момент времени, то он вполне может содержать циклы (это видно на одном из рисунков выше). Однако его конечная структура будет деревом.

Алгоритм с изпользованием SLAV

Далее будет описан алгоритм, придуманный Petr Felkel, который строит [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] за время [math] \mathcal{O}(nm + n \log n)[/math], где [math] n [/math] — общее число вершин в полигоне, [math] m [/math] — число вогнутых вершин в полигоне. Немного модифицированный этот алгоритм используется в открытой библиотеке вычислительной геометрии CGAL. Однако этот алгоритм всё равно ещё достаточно медленный. В реальной жизни используют его модификации или более сложные алгоритмы.

Сначала алгоритм будет рассмотрен на простом случае — выпуклом многоугольнике, — а потом на невыпуклом многоугольнике.

Выпуклый полигон

В случае выпуклого многоугольника возникают только [math] edge\ event'[/math]ы по определению. Поэтому просто алгоритм можно описать следующим образом: найдём точки пересечения биссектрис многоугольника для каждой вершины со всеми соседними вершинами, возьмём такую точку, в которой произойдёт самый первый [math] edge\ event[/math], добавим полученную вершину в [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math], соеденим её с вершинами ребра, которое исчезло в процессе текущего [math] edge\ event'[/math]а, а потом перестроим полигон, создав новую вершину и подвинув все остальные вдоль биссектрис на одинаковое расстояние. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока многоугольник не превратится в треугольник.

Теперь реализуем этот алгоритм более эффективно. Для этого мы будем использовать специальную структуру данных — [math] \mathrm{SLAV}[/math] (set of circular lists of active vertices). Эта структура хранит цикл всех вершин для внешней грани, а так же цикл для каждой дыры многоугольника и для всех многоугольников, возникающих в процессе построения [math] S(P) [/math]. В данном случае у нас будет просто [math] \mathrm{LAV}[/math] — циклический список всех вершин многоугольника.

Эффективный алгоритм

Далее считаем, что полигон представлен рёбрами вдоль движения по контуру полигона против часовой стрелки.

1. Инициализация

[math](a)[/math] Поместим все вершины многоугольника [math] V_1, V_2 \dots V_n [/math] в двусвязный циклический список в порядке обхода вдоль контура.

Алгоритм построения с помощью Motorcycle graph

Рассмотрим алгоритм построения [math] \mathrm{straigt}\ \mathrm{skeleton}[/math] на основе мотографов.

TODO: Алгоритм на мотографах

Другие алгоритмы

Существует простой в понимании и реализации алгоритм для построения [math] \mathrm{straigt}\ \mathrm{skeleton}[/math] на основе триангуляции, который работает за время [math] \mathcal{O}(n^3 \log n)[/math]. Aichholzer смог обобщить этот алгоритм для построения [math] \mathrm{straigt}\ \mathrm{skeleton}[/math] произвольного планарного графа. Также автором в его оригинальной статье был представлен алгоритм построения данной структуры, базирующийся на понятии волнового фронта (англ. wavefront). Этот алгоритм может быть реализован за время [math] \mathcal{O}(n^3)[/math] с использованием [math] \mathcal{O}(n)[/math] памяти либо с использованием приоритетной очереди за время [math] \mathcal{O}(n^2 \log n)[/math] и [math] \mathcal{O}(n^2)[/math] памяти. Известен алгоритм построения [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] для монотонных полигонов за время [math] \mathcal{O}(n \log n)[/math] с использованием [math] \mathcal{O}(n)[/math] памяти.

В данном конспект был (P.S. точнее, ещё будет) представлен алгоритм на основе мотографов, который придумали Stefan Huber и Martin Held. Они говорят, что даже смогли реализовать этот алгоритм, но код нигде не выкладывали.

Источники информации

• Wikipedia — Straight skeleton
• Designing roofs and drawing phylogenetic trees
• Eric Berberich, "Straight Skeleton, Computational Geometry and Geometric Computing Seminar"
• Petr Felkel, Stepan Obdrazalek, "Straight Skeleton Implementation"
• Engineering a weighted straight skeleton algorithm
• Визуализатор алгоритма