Изменения
→Эквивалентность PCP-теоремы и NP-трудности задачи об аппроксимации
==Задача qCSP==
{{Определение
|definition=<tex>qCSP</tex> представляет собой <tex>\varphi</tex> — набор функций <tex>\varphi_1, \ldots, \varphi_m</tex> из <tex>\{0, 1\}^n</tex> в <tex>\{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i</tex> зависит не больше, сем чем от <tex>q</tex> заданных параметров. То есть для <tex>\forall i \in [1..m]</tex> существуют <tex>j_1, \ldots, j_q \in [1..n]</tex> и функция <tex>f:\{0, 1\}^q \rightarrow \{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i(u) = f(u_{j_1}, \ldots, u_{j_q})</tex> для любого <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex>.
Говорят, что набор назначение <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex> удовлетворяет <tex>\varphi_i</tex>, если <tex>\varphi_i(u) = 1</tex>.
<tex>val(\varphi) = \frac{\sum_{i = 1}^{m} \varphi_i(u)}{m}.</tex> Если <tex>val(\varphi) = 1</tex>, то <tex>\varphi</tex> - удовлетворима.
}}
==<tex>\rho</tex>ρ-GAPqCSP==
{{Определение
|definition=<tex>\rho \in (0, 1)</tex>. Задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP - определить для формулы qCSP — <tex>\varphi</tex>:
==Эквивалентность PCP-теоремы и NP-трудности задачи об аппроксимации==
{{Теорема
|id=pcp_th|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема|statement=<tex>\mathrm{PCP}[\log n, O(1)] = \mathrm{NP}</tex>}} {{Теорема|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho-GAPqCSP</tex>-GAP qCSP — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная.
}}
{{УтверждениеЛемма|statement=Теорема выше эквивалентна теореме о том, что Из <tex>\mathrm{NPPCP}</tex> = -теоремы следует <tex>\mathrm{PCPNP}_{\frac 1 2 ,1}(</tex>-трудность задачи <tex>\log(n), 1)rho-GAPqCSP</tex>.
|proof=
Покажем, что <tex>\frac 1) Пусть 2 -GAPqCSP</tex> <tex>\mathrm{NP }</tex>-трудная для некоторой константы <tex>q</tex>. Для этого достаточно свести <tex>\subseteqmathrm{NP}</tex>-полную задачу, например <tex>3SAT</tex> к <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> для некоторой константы <tex>q</tex>. Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует, что для <tex>3SAT</tex> существует <tex>\mathrm{PCP(1}</tex>-система, в которой верифаер <tex>V</tex> делает константное число запросов <tex>q</tex> и использует <tex>c \log(n)</tex>)монет для некоторйо константы <tex>c</tex>. Для входа <tex>x</tex> и монет <tex>r</tex> определим <tex>V_{x,r}</tex> как функцию, принимающую на вход доказательство <tex>\pi</tex> и возвращающую <tex>1</tex>, если верифаер <tex>V</tex> принимает доказательство <tex>\pi</tex> на входе <tex>x</tex> с монетами <tex>r</tex>. ДокажемЗаметим, что задача 3SAT сводится к <tex>V_{x,r}</tex> зависит не больше, чем от <tex>q</tex> позиций. Таким образом для любого <tex>x \fracin {0,1}^n</tex> набор <tex>\phi=\lbrace V_{x,r}\rbrace_{2r \in \lbrace 0,1\rbrace^{c\log n}}</tex>-GAP — экземпляр <tex>qCSP</tex> полиномиального размера. Так как <tex>V</tex> работает за полиномиальное время, апреобразование <tex>x</tex> в <tex>\phi</tex> также работает за полиномиальное время. Теперь полнота и обоснованность: если <tex>x \in 3SAT</tex>, значитто <tex>\phi</tex> удовлетворяет <tex>val(\phi)=1</tex>, а если <tex>x \notin 3SAT</tex> то <tex>\rhophi</tex> удовлетворяет <tex>val(\phi) \le \frac 1 2</tex>-GAP qCSP является NP-сложной.}}