Изменения

Перейти к: навигация, поиск

2SAT

109 байт добавлено, 22:37, 16 сентября 2019
Нет описания правки
Рассмотрим любой дизъюнкт функции: <tex> a \vee b </tex>.
Несложно заметить, что это равнозначно записи <tex>(\overline a \to b \wedge \overline b \to \overline a) </tex>.
Построим [[Основные_определения_теории_графов|ориентированный граф]], где вершинами будут аргументы и их отрицание, а ребрами будут ребра вида: <tex>\overline a \to b </tex> и <tex> \overline b \to \overline a </tex> для каждого дизъюнкта функции <tex> a \vee b </tex>.
{{Теорема
|statement=
Для того, чтобы данная задача <tex>\mathrm {2SAT}</tex> имела решение, необходимо и достаточно, чтобы для любой переменной <tex> x </tex> из вершины <tex> x </tex> нельзя достичь <tex> \overline x </tex> и из вершины <tex> \overline x </tex> нельзя достичь <tex> x </tex> одновременно. <tex>(\overline x \to x ) \wedge (x \to \overline x) </tex>.
|proof=
<tex>(\Rightarrow)</tex>Докажем достаточность: Пусть <tex>\mathrm {2SAT}</tex> имеет решение. Докажем, что не может быть такого, чтобы для любой переменной <tex> x </tex> из вершины <tex> x </tex> можно достичь <tex> \overline x </tex> и из вершины <tex> \overline x </tex> можно достичь <tex> x </tex> одновременно. <tex>((\overline x \to x ) \wedge (x \to \overline x)) </tex>. Тогда чтобы из <tex> \overline x </tex> достичь <tex> x </tex> <tex> (\overline x \to x </tex> было верным), <tex> x </tex> должен быть равен <tex> 1 </tex>. С другой стороны для того, чтобы из <tex> x </tex> достичь <tex> \overline x </tex> <tex> (\overline x \to \overline x </tex> было верным), <tex> x </tex> должен быть равен 0. Отсюда следует противоречие.
<tex>(\Leftarrow)</tex>Докажем необходимость: Пусть для любой переменной <tex> x </tex> из вершины <tex> x </tex> нельзя достичь <tex> \overline x </tex> и из вершины <tex> \overline x </tex> нельзя достичь <tex> x </tex> одновременно. Докажем, что этого достаточно, чтобы <tex>\mathrm {2SAT}</tex> имело решение. Пусть из <tex> \overline x </tex> можно достичь <tex> x </tex>, но из вершины <tex> x </tex> нельзя достичь <tex> \overline x </tex>. Докажем, что из <tex> x </tex> не достижимо такой <tex> y </tex>, что из <tex> y </tex> достижимо <tex> \overline y </tex>. (т.е. <tex> x \to y \to \overline y \, (x = 1, y = 0)) </tex>. Если из <tex> x \to y </tex>, то <tex> \overline x \vee y </tex>, отсюда следует <tex> \overline y \to \overline x </tex>. Тогда <tex> x \to y \to \overline y \to \overline x </tex>. Следовательно <tex> x \to \overline x </tex>. Противоречие.
}}
#Построим граф импликаций.
#<i>Найдём в этом графе [[Отношение_связности,_компоненты_связности#Сильная связность | компоненты сильной связности]] за время <tex>O(N + M)</tex></i>, где <tex> N </tex> — количество вершин в графе (удвоенное количество переменных), а <tex> M </tex> — количество ребер графа (удвоенное количество дизъюнктов).
#Пусть <tex>comp[v]</tex> — это номер компоненты сильной связности, которой принадлежит вершине <tex>v</tex>. Проверим, что для каждой переменной <tex>x</tex> вершины <tex>x</tex> и <tex>\overline x</tex> лежат в разных компонентах, т.е. <tex>comp[x] \ne comp[\overline x]</tex>. Если это условие не выполняется, то вернуть "<i>решение не существует"</i>. #Если <tex>comp[x] > comp[\overline x]</tex>, то переменной <tex>x</tex> выбираем значение <tex> \mathtt {true}</tex>, иначе — <tex> \mathtt {false}</tex>.
Компоненты сильной связности найдем за <tex>O(N + M)</tex>, затем проверим каждую из <tex>N</tex> переменных за <tex>O(N)</tex>. Следовательно асимптотика <tex>O(N + M)</tex>.
Решение <tex>\mathrm {2SAT}</tex> может потребоваться в следующих задачах:
*латинские квадраты<ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/Латинский_квадрат Википедия — Латинские квадраты] </ref>, *квазигруппы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Квазигруппа_(социология) Википедия — Квазигруппы]</ref>,*числа Рамсея<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Рамсея#.D0.A7.D0.B8.D1.81.D0.BB.D0.B0_.D0.A0.D0.B0.D0.BC.D1.81.D0.B5.D1.8F Википедия — Числа Рамсея]</ref>,*система Штейнера<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_Штейнера Википедия — Система Штейнера]</ref>,
*проектирование протоколов (пример: для сетевых коммуникаций),
*электронная коммерция (Электронные аукционы и автоматизированные брокеры,
*[http://e-maxx.ru/algo/2_sat MAXimal :: algo :: Задача 2SAT (2-CNF) ]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Википедия — 2-satisfiability — Википедия]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Булевы функции ]]
Анонимный участник

Навигация