264
правки
Изменения
м
{{Лемма|id=lemma1|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов Обозначим <tex>d_iT = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.Тогда существует оптимальное расписание вида Для всех <tex>i_1t = 0, i_21, \ldots, i_s, i_{s+T </tex> и <tex>j = 1}, \ldots, i_n n</tex>, где будем рассчитывать <tex>i_1 < i_2 < \ldots < i_s F_j(t)</tex> {{---}} номера значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работи общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, которые успеют не превышает времени <tex>t</tex>.#Если <tex>0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремяв расписании, а соответствующем <tex>F_j(t)</tex>, то <tex>i_F_j(t) = F_{s+j- 1}(t - p_j)</tex>, \ldots, i_n иначе </tex> F_j(t) = F_{{--j-1}} номера просроченных работ(t) + w_i</tex>.|proof#Если <tex>t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t) = Это можно показать следующим образом}F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все работы с номерами <tex>j = 1, \ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием.
Нет описания правки
<tex dpi = "200" >1 \mid\mid \sum w_i U_i</tex>
{{Утверждение
|id=krit_dol3
|statement=
Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.
|proof=
[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]
Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при любом треугольнике при ребре.
Обратно: Рассмотрим треугольник <tex>ABC</tex>, для каждого из ребра можно провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex>ABC</tex> образуется тетраэдр. Если в нем есть точки, то точки есть внутри треугольника, тогда это не триангуляция <tex>\implies</tex> точек в тетраэдре нет <tex>\implies</tex> плоскостью <tex>ABC</tex> можно отделить пространство с точками <tex>\implies</tex> выполняется глобальный критерий.
}}
Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.
{{Лемма
|about=4
|id=fliplemmasphere
|statement=
Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.
|proof=
}}
{{nohate2}}{{wasted}}{{под кат|title = Заголовок блока |content = Содержимое |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-align:center |footer = См. [[другая статья|другую статью]] |footer-style = background-color:lightgray;text-align:right}}{{Задача|definition= Есть один станок и <tex>n</tex> работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> p_i,</tex> дедлаин <tex>d_i</tex> и стоимось выполнения этой работы <tex>w_i \geqslant 0</tex>.Необходимо сотавить такое расписание, что Необходим минимизировать <tex>\sum w_i U_i</tex> будет минимальна.}}
==Решение==
Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].
Отсюда, получим соотношение:
<p>
<tex>
F_j(t) =
\left \{\begin{array}{ll} \min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t) + w_j), & 0 \leqslant t \leqslant d_j \\
F_j(d_j), & d_j < t < T
\end{array} \right.
</tex>
</p>
В качестве начальных условий следует взять <tex>F_j(t) = \infty </tex> при <tex>t < 0, j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>F_0(t) = 0 </tex> при <tex>t \geqslant 0 </tex>.
Ответом на задачу будет <tex>F_n(d_n)</tex>.
Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>F_j(t)</tex> для <tex>j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>t = 0,\ldots, d_j </tex>. За <tex>p_{max}</tex> обозначим самое большое из времен выполнения заданий.
отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex>d_i</tex>
<tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex>
'''for''' <tex> t \in \{ = -p_{max} \ldots </tex> '''to''' <tex>-1 \} </tex> '''for''' <tex> j \in \{ = 0 \ldots </tex> '''to''' <tex>n \} </tex>
F_j(t) = \infty
'''for''' <tex> t \in \{ = 0 \ldots </tex> '''to''' <tex>T \} </tex>
F_0(t) = 0
'''for''' <tex> j \in \{ 0 \ldots = 1</tex> '''to''' <tex>n \} </tex> '''for''' <tex> t \in \{ = 0 \ldots </tex> '''to''' <tex>d_j \} </tex> '''if''' <tex> F_{j-1} (t) + w_j < F_{j-1}(t-p_j) </tex> '''then'''
<tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>
'''else'''
<tex> F_j(t) = F_{j-1}(t-p_j) </tex>
'''for''' <tex> t \in \{ d_{j= d_j +1} \ldots </tex> '''to''' <tex>T \} </tex>
<tex> F_j(t) = F_{j}(d_j) </tex>
Время работы данного алгоритма {{---}} <tex>O(n \sum\limits_{i=1}^n p_i)</tex>.
Для того, чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием. Это может быть сделано следующим способом:
t = d_n
L = \varnothing
'''for''' <tex>j = n</tex> '''downto''' <tex>1</tex>
<tex>t = \min(t, d_j)</tex>
'''if''' <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>
<tex> L = L \cup \{j\} </tex> </tex>
'''else'''
<tex> t = t - p_j </tex>
==Доказательство корректности и оптимальности==
{{Лемма
|id=lemma1
|statement= Существует Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>Si_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex> в котором все , такое, что <tex>ni_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> задач распределены по всем временам {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>t_i (i = i_{s+1}, \ldots n), i_n </tex>, которые выбирает приведенный выше алгоритм{{---}} номера просроченных работ.|proof= Предположим, что в Пусть у нас есть некоторое оптимальное расписание раписание <tex>S</tex> входят времена . Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ. #Если работа с номером <tex> t_1 \ldots t_j, i</tex> где выполнится в <tex> j < nS</tex> и из всех возможных оптимальных расписаний мы возьмем с опозданием, топереставим эту работу в конец. При этом, у которого так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>jS</tex> будет максимально, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции.Из того, как #Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в алгоритме выбирались значения для расписании <tex>t_iS</tex> следуетвыполняются вовремя, что но при этом <tex>t_{j + 1}d_i < d_j </tex> {{---}} минимальное возможное время, большее но <tex>t_j,j</tex> стоит в которое можно начать выполнять какое-нибудь из оставшихся заданий<tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Если во время Тогда переставим работу с номером <tex>t_{j+1}</tex> в расписании так, чтобы она выполнялась после работы <tex>Si</tex> не выполняется никакого задания. Таким образом, то какое-то заданиекаждая из работ, которое могло бы выполнится находившихся в момент времени <tex>t_{S</tex> между <tex>j+1}</tex> выполняется и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>Sp_j</tex> позднееединиц времени раньше. Значит оно может быть перемещено Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в нашем расписании <tex>S</tex> , не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время .#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>t_{j+1}S</tex> без увеличения целевой функции, как оптимального решения. Таким образом, наше новое расписание тоже #*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет оптимальным. Получили противоречие с максимальностью заканчиваться на <tex>jp_j</tex>. Значит из всех оптимальных расписаний нам подходят только теединиц времени раньше, в которых то стоящая сразу послее нее работа <tex>j = n</tex>тоже будет успевать выполниться.
}}
==См. также ==
* [[Классификация задач]]
* [[1precpmtnrifmax1ripipsumwu|<tex>1 \mid precr_i, pmtn, r_i p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]* [[1pi1sumwu|<tex>1 \mid p_{i} = 1 \mid f_\sum w_{i}U_{i}</tex>]]* [[R2Cmax|<tex>R2 \mid \mid C_{max}</tex>]]
== Источники информации ==
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 26 - 2028
