Изменения

Пусть <tex>B = \{0, 1\}</tex> — булевое множество. Рассмотрим <tex>B^n</tex> и [[Расстояние Хэмминга#def1|расстояние Хемминга]] <tex>H(x,y)</tex>. Пусть <tex>c:\Sigma \to B^n</tex> {{---}} разделяемый код постоянной длины. Обозначим <tex>\min\limits_{\substack{x, y\in \Sigma \\ x\neq y}}H(c(x), c(y)) = d(c)</tex>.

|definition=

Код <tex>c</tex> ''обнаруживает'' <tex>k</tex> ошибок, если <tex>d(c) > k</tex>.

}} <br />

{{Определение

|definition=

Код <tex>c</tex> ''исправляет'' <tex>k</tex> ошибок, если <tex>d(c) > 2k</tex>.

Для составления оценок снизу и сверху на параметры кодирования нам понадобится понятие шара.

{{Определение

|definition=

Булев шар {{---}} подмножество <tex>B^n</tex> вида <tex> \{ y : H(x,y) \leqslant r\}</tex>. <tex>x</tex> называется его центром, <tex>r</tex> {{---}} радиусом. Булев шар с центром <tex>x</tex> и радиусом <tex>r</tex> обознчается <tex>S(x,r)</tex>.

}} <br />

{{Определение

|definition=

Обьёмом шара <tex>S(x,r)</tex> в <tex>B^n</tex> называется величина <tex>|S(x,r)|</tex>.

|statement=

Если выполнено неравенство <tex> mV(n,2k) \leqslant 2^n</tex>, то существует код <tex>c:\Sigma \to B^n</tex> для <tex>m</tex>-символьного алфавита <tex>\Sigma </tex>, исправляющий <tex>k</tex> ошибок.

}}

Примером кода для случая <tex>k=1</tex> является [[Избыточное кодирование, код Хэмминга#def1|код Хэмминга]].