1679
правок
Изменения
взял из Фихтенгольца биномиальное разложение с остатком по Коши, посмотрите, вроде похоже на правду.
[[Степенные ряды|<<]] [[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_VI_.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D1.8F.D0.B4.D1.8B|>> на главную]]
<wikitex>
== Степенные ряды ==
Подставим $ x = x_0 $:
$f^{(p)}(x_0) = p!\ cdot a_p \Rightarrow a_p = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!} $
Пусть в $ x_0 $ задана $ y = f(x) $, в точке $ x_0 $ существуют производные любого порядка.
{{Определение
|definition=
$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $.
}}
Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого $ n $.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\inftyn} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k $, что является разложением функции в степенной ряд в точке $ x $.
$ (1 + \frac1n)^n \ge \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} (1 - \frac0n) (1 - \frac1n) \dots (1 - \frac{k - 1}n) $.
Устремим <tex>n </tex> к бесконечности. Так как число слагаемых в сумме и множителей в каждом слагаемом конечно, сделаем в сумме предельный переход: сумма конечна, следовательно, можно переходить к пределу $ e \ge \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} $. Итого: $ (1 + \frac1N)^N \le \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} \le e $
Итак, $ e \le \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac1{k!} \le e \Rightarrow f(1) = e $
$ e < (1 + \frac1n)^{n + \frac12} < e \cdot e^{\frac1{12n(n + 1)}} $
$ 1 < \frac1e (1 + \frac1n)^{n + \frac12} < \cdot e^{\frac1{12n(n + 1)}} $
Рассмотрим последовательность $ a_n = \frac{n!}{n^{n + \frac12}} \cdot e^n $:
=== (1 + x)^a ===
</wikitex>
[[Степенные ряды|<<]] [[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_VI_.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D1.8F.D0.B4.D1.8B|>> на главную]]
[[Категория: Математический анализ 1 курс]]