Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события [math] A [/math] через вероятности событию [math] A [/math] произойти при выполнении гипотез и вероятность этих гипотез.

Теорема

Определение:

Не более чем счётное множество событий [math] B_1, B_2, ..., B_n [/math], таких что: все события попарно несовместны: [math] \forall i,~j = 1, 2, ..., n~B_i \cap B_j = \varnothing [/math] их объединение образует пространство элементарных исходов: [math]P(B_i)~\gt ~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...~\cup ~B_n = \Omega [/math]

В этом случае события [math]B_i[/math] ещё называются гипотезами.

Теорема (формула полной вероятности):

Вероятность события [math] A~\subset ~\Omega [/math], которое может произойти только вместе с одним из событий [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math], образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез. [math] p(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} p( A \mid B_i) p(B_i) [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] образуют полную группу событий, значит событие [math] A [/math] можно представить в виде следующей суммы: [math] A = A\cap B_{1} + A\cap B_{2} + ... + A\cap B_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} A\cap B_{i} [/math] (Для удобства чтения формулы обозначим операцию объединения [math] \cup [/math] за [math] + [/math]) События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] несовместны, значит и события [math] A\cap B_{i} [/math] тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий: [math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A\cap B_i)[/math] При этом [math] {p}( A\cap B_i) = {p} (B_i) {p} (A \mid B_i) [/math] Окончательно получаем: [math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть [math]N[/math] — случайная величина, имеющая распределение

[math]{p}(N=n) = {p}(B_n)[/math].

Тогда

[math]{p}(A) = {E}\left[{p}(A\mid N)\right][/math],

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность
• Формула Байеса

Источники

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_полной_вероятности