Множества

Определения

Определение:

Множество — первичное математическое понятие, которому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.

Определение:

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Если [math]a[/math] — элемент множества [math]A[/math], то записывают [math]a \in A[/math] («[math]a[/math] принадлежит [math]A[/math]»). Если [math]a[/math] не является элементом множества [math]A[/math], то записывают [math]a \notin A[/math] («[math]a[/math] не принадлежит [math]A[/math]»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.

Способы задания множеств

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Перечисление

Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.

[math] A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} [/math]

Описание

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.

[math] A = \{a \mid P\} [/math] , где [math]P[/math] — определенное свойство элемента [math]a[/math].

Отношения между множествами

Два множества [math]A[/math] и [math]B[/math] могут вступать друг с другом в различные отношения.

Включение

• [math]A[/math] включено в [math]B[/math], если каждый элемент множества [math]A[/math] принадлежит также и множеству [math]B[/math] :

  [math]\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B[/math]

• [math]A[/math] включает [math]B[/math], если [math]B[/math] включено в [math]A[/math]:

  [math]{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}[/math]

• [math]A[/math] строго включено в [math]B[/math], если [math]A[/math] включено в [math]B[/math], но не равно ему:

  [math]{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}[/math]

Равенство

• [math]A[/math] равно [math]B[/math], если [math]A[/math] и [math]B[/math] включены друг в друга:

  [math]{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}[/math]

Общие элементы

• [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются, если у них нет общих элементов:

  [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются [math]{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}[/math]

Специальные множества

Определение:

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как [math]\varnothing[/math].

Определение:

Универсальное множество — множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как [math] \ \displaystyle \mathbb {U}[/math].

Операции над множествами

Бинарные операции над множествами

• Пересечение [math]A[/math] и [math]B[/math].

  [math]{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}[/math]

• Объединение [math]A[/math] и [math]B[/math].

  [math]{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}[/math]

• Разность [math]A[/math] и [math]B[/math].

  [math]{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}[/math]

• Симметрическая разность [math]A[/math] и [math]B[/math].

  [math] {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) }[/math]

Унарные операции над множествами

• Дополнение определяется следующим образом:

  [math]{\displaystyle {{\overline {A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}}=U\setminus A}[/math].

Теорема де Моргана

Теорема (де Моргана):

[math]\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\ \overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств). Сначала докажем, что [math] \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}[/math]. Пусть [math]x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )[/math]. Значит, [math]\nexists \ \alpha_i[/math] такого, что [math]x \in A_{\alpha_i}[/math]. Следовательно, [math]\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math]. В силу выбора [math]x[/math] (любой элемент множества [math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math]) следует искомое включение. Теперь докажем, что [math] \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math] Пусть [math]x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math]. Тогда [math]\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \notin A_\alpha[/math]. Поскольку [math]x[/math] не входит ни в одно объединяемое множество, то [math]x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}[/math] Аналогично, в силу выбора [math]x[/math] выполняется искомое включение.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства

[math](A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)[/math]

Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.