Задача о порядке перемножения матриц

Задача о порядке перемножения матриц — классическая задача, которая может быть решена с помощью динамического программирования. В этой задаче нам дана последовательность матриц, в которой мы хотим найти самый эффективный способ перемножения. На самом деле задача заключается не в нахождении результата перемножения, а просто в нахождении нужного порядока, в котором мы будем перемножать.

У нас есть много способов, потому что операция перемножения ассоциативна. Другими словами, нет разницы как мы расставим скобки между множителями, результат будет один и тот же. Например, если у нас есть четыре матрицы A, B, C и D, то у нас есть следующие варианты:

(ABC)D = (AB)(CD) = A(BCD) = A(BC)D = ....

Однако, порядок в котором мы расставим скобки в нашем выражении повлияет на количество простых арифметических операций, которые мы потратим на вычисление ответа, или, другими словами, на эффективность.

Например, предположим, что А = (10 × 30), B = (30 × 5), C = (5 × 60). Тогда:

(AB)C = (10×30×5) + (10×5×60) = 1500 + 3000 = 4500 операций

A(BC) = (30×5×60) + (10×30×60) = 9000 + 18000 = 27000 операций.

Очевидно, что первый способ гораздо эффективней. Теперь мы поняли, что нам надо найти оптимальную расстановку скобок в нашем выражении из n матриц. Как это сделать? Мы можем перебрать все расстановки скобок (brute force), но время выполнение этого алгоритма будет эксапаненциально рости от n количества матриц. Решение данной проблемы, как мы увидим — это разбить нашу задачу на подзадачи. Так же мы увидим, что с помощю решения однократного решения подзадачи и повторного использования ответа, мы сможем заметно сократить асимптотику.

Решение динамическим программированием

Сначала, давайте считать то, что мы хотим знать минимальное количесвто операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если мы перемножаем только две матрицы, то мы можем осуществить это только едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость этого перемножения. В общем, мы можем найти минимальную стоимость используя следующий рекурсивный алгоритм:

• Взять последовательность матриц и разделить её на две части.
• Найти минимальную стоимость перемножения на каждой подпоследовательности.
• Сложить эти две стоимости и прибавить к этому стоимость перемножения двух получившихся матриц.
• Сделать это для каждой возможной позиции в последовательности, в которой она может быть разделена и взять минимум среди всех результатов.

Например, если у нас есть четыре матрицы ABCD, мы посчитаем для (A)(BCD), (AB)(CD), и (ABC)(D), делая рекурсивные вызовы, чтобы найти минимальную стоимость на ABC, AB, CD, и BCD. Потом среди них мы выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом, каким дается нам минимальная стоимость и перемножить их между собой.

Внезапно, если мы применим этот алгоритм, то мы обнаружим, что это так же медленно, как и наивный способ перебирания всех скобочных последовательностей! Что пошло не так? Ответом на этот вопрос является то факт, что мы делаем много ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, мы сделали рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета ABC и AB. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета ABC так же требует нахождения лучшей стоимости для AB. Так как рекурсия растет вглбь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается.

Одно из простых решений: меморизация. Каждый раз, когда мы считаем минимальную стоимость на отрезке, мы сохраняем ответ. Когда у нас просят посчитать это ещё раз, то мы сразу же выдадим ответ и не будем пересчитывать. Хоть у нас [math] n^2/2 [/math]

Одно из простых решений — это меморизация. Каждый раз, когда мы считаем минимальную стоимость перемножения определенной подпоследовательности, давайте мы будем запоминать ответ. Если мы когда либо ещё раз захотим посчитать это ещё раз, то мы уже будет иметь ответ и не будем пересчитывать. Поскольку существует всего около [math]n^2/2[/math], где n — это количество матриц, то память занимаемая программой будет не так велика. Можно сказать, что с помощью этого простого трюка мы уменьшили асимптотику алгоритма с O([math]2n[/math]) до O([math]n^3[/math]), что является достаточно эффективным для реальных приложений.

Псевдокод:

int dp[1000][1000];
vector<pair<int, int> > v;
// v[i].first — размер i-той матрицы по горизонтали 
// v[i].second — размер i-той матрицы по вертикали
// dp[i][j] — меморизация на отрезке [i, j)
int matrixChainMultiplication(int l, int r)
{
	//l — включая в отрезок
	//r — исключая из отрезка
	if dp[l][r] == -1
		if l == r - 1
			dp[l][r] = 0;
		else
			dp[l][r] = 1000 * 1000 * 1000;
			for (int i = l + 1; i < r; i++)
				dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l].first * v[i].first * v[r - 1].second + matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r));
	return dp[l][r];
}

Литература

• Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ
• Sanjoy Dasgupta , Christos H. Papadimitriou, Umesh Vazirani Algorithms

Также были использованы материалы ru.wikipedia.org [1]