Задача о расстоянии Дамерау-Левенштейна

Определение:

Расстояние Дамерау — Левенштейна (Damerau — Levenshtein distance) между двумя строками, состоящими из конечного числа символов — это минимальное число операций вставки, удаления, замены одного символа и транспозиции двух соседних символов, необходимых для перевода одной строки в другую.

Является модификацией расстояния Левенштейна, отличается от него добавлением операции перестановки.

Расстояние Дамерау — Левенштейна является метрикой.

Практическое применение

Расстояние Дамерау — Левенштейна, как и метрика Левенштейна, является мерой "схожести" двух строк. Алгоритм его поиска находит применение в реализации нечёткого поиска, а также в биоинформатике (сравнение ДНК), несмотря на то, что изначально алгоритм разрабатывался для сравнения текстов, набранных человеком (Дамерау показал, что 80% человеческих ошибок при наборе текстов составляют перестановки соседних символов, пропуск символа, добавление нового символа, и ошибка в символе. Поэтому метрика Дамерау — Левенштейна часто используется в редакторских программах для проверки правописания).

Описание алгоритма

Метод динамического программирования позволяет найти расстояние Дамерау — Левенштейна между двумя строками [math]S[/math] и [math]T[/math], длины которых равны соответственно [math]m[/math] и [math]n[/math], затратив сравнительно небольшое количество вычислительных ресурсов. Сложность алгоритма: [math]O\left (m \cdot n \cdot \max(m, n) \right )[/math]. Затраты памяти: [math]O\left (M \cdot N \right)[/math]. Однако скорость работы алгоритма может быть улучшена до [math]O\left (M \cdot N \right)[/math].

Наивный алгоритм

Простая модификация алгоритма поиска расстояния Левенштейна не приводит к цели. Рассмотрим псевдокод алгоритма, отличающегося от алгоритма поиска расстояния Левенштейна одной проверкой:

int DamerauLevenshteinDistance(char S[1..m], char T[1..n])
   declare int d[0..m, 0..n]
   declare int i, j, cost
   // База динамики
   for i from 0 to m
      d[i, 0] = i
   for j from 1 to n
      d[0, j] = j
   for i from 1 to m
      for j from 1 to n           
         // Стоимость замены
         if S[i] == T[j] then cost = 0
            else cost = 1
         d[i, j] = minimum(
                              d[i-1, j  ] + 1,                    // удаление
                              d[i  , j-1] + 1,                    // вставка
                              d[i-1, j-1] + cost                  // замена
                          )
          if(i > 1 and j > 1 
                   and S[i] == T[j-1] 
                   and S[i-1] == T[j]) then
             d[i, j] = minimum(
                                  d[i, j],
                                  d[i-2, j-2] + costTransposition // транспозиция
                              )
   return d[m, n]

Контрпример: [math]S =[/math] [math]'CA'[/math] и [math]T =[/math] [math]'ABC'[/math]. Расстояние Дамерау — Левенштейна между строками равно 2 ([math]CA \rightarrow AC \rightarrow ABC[/math]), однако функция приведённая выше возвратит 3. Дело в том, что использование этого упрощённого алгоритма накладывает ограничение: любая подстрока может быть редактирована не более одного раза. Поэтому переход [math]AC \rightarrow ABC[/math] невозможен, и последовательность действий такая: ([math]CA \rightarrow A \rightarrow AB \rightarrow ABC[/math]).

Ниже представлен более сложный алгоритм, который корректно решает задачу поиска расстояния Дамерау — Левенштейна.

Алгоритм

В основу алгоритма положена идея динамического программирования по префиксу. будем хранить матрицу [math]D[0..m + 1][0..n + 1][/math], где [math]D[i + 1][j + 1][/math] — расстояние Дамерау — Левенштейна между префиксами строк [math]S[/math] и [math]T[/math], длины префиксов — [math]i[/math] и [math]j[/math] соответственно.

Псевдокод алгоритма:

int DamerauLevenshteinDistance(char S[1..m], char T[1..n])

   // Обработка крайних случаев
   if (S == "") then
       if (T == "") then
           return 0
       else
           return n
   else if (T == "") then
       return m      
   declare int D[0..m + 1, 0..n + 1]          // Динамика
   declare int INF = m + n                    // Большая константа    
   // База индукции
   D[0, 0] = INF;
   for i from 0 to m
       D[i + 1, 1] = i
       D[i + 1, 0] = INF
   for j from 0 to n
       D[1, j + 1] = j
       D[0, j + 1] = INF
           
   declare sd                                 //Отсортированный алфавит (все символы из S и T)
                                              //для каждого элемента C алфавита задано значение sd[C] 
   foreach (char Letter in (S + T))
       if Letter не содержится в sd
           добавить Letter в sd
           sd[Letter] = 0
   for i from 1 to m
       declare int DB = 0
       for j from 1 to n
           declare int i1 = sd[target[j - 1]]
           declare int j1 = DB
           if source[i - 1] == target[j - 1] then
               D[i + 1, j + 1] = D[i, j]
               DB = j
           else
               D[i + 1, j + 1] = minimum(D[i, j], D[i + 1, j], D[i, j + 1]) + 1
           D[i + 1, j + 1] = minimum(D[i + 1, j + 1], D[i1, j1] + (i - i1 - 1) + 1 + (j - j1 - 1))
       sd[S[i - 1]] = i
   return D[m + 1, n + 1]

См. также

• Задача о редакционном расстоянии, алгоритм Левенштейна

Cсылки

• статья на английской Википедии
• Нечёткий поиск в тексте и словаре (Хабрахабр)