Сортировка пузырьком — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Оптимизация)
м (и так нормально)
Строка 26: Строка 26:
 
В данной сортировке выполняются всего два различных вида операции: сравнение элементов и их обмен. Поэтому время всего алгоритма <tex> T = T_1 + T_2 </tex>, где <tex> T_1 </tex> {{---}} время, затрачиваемое на сравнение элементов, а <tex> T_2 </tex> {{---}} время, за которое мы производим все необходимые обмены элементов.
 
В данной сортировке выполняются всего два различных вида операции: сравнение элементов и их обмен. Поэтому время всего алгоритма <tex> T = T_1 + T_2 </tex>, где <tex> T_1 </tex> {{---}} время, затрачиваемое на сравнение элементов, а <tex> T_2 </tex> {{---}} время, за которое мы производим все необходимые обмены элементов.
  
Так как в алгоритме меняться местами могут только соседние элементы, то каждый обмен уменьшает количество [[Таблица инверсий|инверсий]] на единицу. Следовательно, количество обменов равно количеству инверсий в исходном массиве вне зависимости от реализации сортировки. Максимальное количество инверсий содержится в массиве, элементы которого отсортированы по убыванию. Несложно посчитать, что количество инверсий в таком массиве <tex dpi="150"> \frac {n (n - 1)} {2} </tex>. Получаем, что <tex> T_2 = O(n^2) </tex>.
+
Так как в алгоритме меняться местами могут только соседние элементы, то каждый обмен уменьшает количество [[Таблица инверсий|инверсий]] на единицу. Следовательно, количество обменов равно количеству инверсий в исходном массиве вне зависимости от реализации сортировки. Максимальное количество инверсий содержится в массиве, элементы которого отсортированы по убыванию. Несложно посчитать, что количество инверсий в таком массиве <tex> \frac {n (n - 1)} {2} </tex>. Получаем, что <tex> T_2 = O(n^2) </tex>.
  
 
В неоптимизированной реализации на каждой итерации внутреннего цикла производятся <tex> n - 1 </tex> сравнений, а так как внутренний цикл запускается также <tex> n - 1 </tex> раз, то за весь алгоритм сортировки производятся <tex> (n - 1)^2 </tex> сравнений.
 
В неоптимизированной реализации на каждой итерации внутреннего цикла производятся <tex> n - 1 </tex> сравнений, а так как внутренний цикл запускается также <tex> n - 1 </tex> раз, то за весь алгоритм сортировки производятся <tex> (n - 1)^2 </tex> сравнений.

Версия 23:57, 11 июня 2012

Сортировка простыми обменами, сортировка пузырьком (англ. bubble sort) — один из квадратичных алгоритмов сортировки.

Алгоритм

Алгоритм состоит в повторяющихся проходах по сортируемому массиву. На каждой итерации последовательно сравниваются соседние элементы, и, если порядок в паре неверный, то элементы меняют местами. За каждый проход по массиву как минимум один элемент встает на свое место, поэтому необходимо совершить не более [math] n - 1 [/math] проходов, где [math] n [/math] размер массива, чтобы отсортировать массив.

Псевдокод

Ниже приведен псевдокод сортировки пузырьком, на вход которой подается массив [math] A[0..n - 1] [/math].

 BubbleSort(A)
   for i = 0 to n - 2:
     for j = 0 to n - 2:
       if A[j] > A[j + 1]:
         swap(A[j], A[j + 1]);

Оптимизация

  • Можно заметить, что после [math] i [/math]-ой итерации внешнего цикла [math] i [/math] последних элементов уже находятся на своих местах в отсортированном порядке, поэтому нет необходимости производить их сравнения друг с другом. Следовательно, внутренний цикл можно выполнять не до [math] n - 2 [/math], а до [math] n - i - 2 [/math].
  • Также заметим, что если после выполнения внутреннего цикла не произошло ни одного обмена, то массив уже отсортирован, и продолжать что-то делать бессмысленно. Поэтому внутренний цикл можно выполнять не [math] n - 1 [/math] раз, а до тех пор, пока во внутреннем цикле происходят обмены.

При использовании первой оптимизации сортировка принимает следующий вид:

 BubbleSort(A)
   for i = 0 to n - 2:
     for j = 0 to n - i - 2:
       if A[j] > A[j + 1]:
         swap(A[j], A[j + 1]);

Сложность

В данной сортировке выполняются всего два различных вида операции: сравнение элементов и их обмен. Поэтому время всего алгоритма [math] T = T_1 + T_2 [/math], где [math] T_1 [/math] — время, затрачиваемое на сравнение элементов, а [math] T_2 [/math] — время, за которое мы производим все необходимые обмены элементов.

Так как в алгоритме меняться местами могут только соседние элементы, то каждый обмен уменьшает количество инверсий на единицу. Следовательно, количество обменов равно количеству инверсий в исходном массиве вне зависимости от реализации сортировки. Максимальное количество инверсий содержится в массиве, элементы которого отсортированы по убыванию. Несложно посчитать, что количество инверсий в таком массиве [math] \frac {n (n - 1)} {2} [/math]. Получаем, что [math] T_2 = O(n^2) [/math].

В неоптимизированной реализации на каждой итерации внутреннего цикла производятся [math] n - 1 [/math] сравнений, а так как внутренний цикл запускается также [math] n - 1 [/math] раз, то за весь алгоритм сортировки производятся [math] (n - 1)^2 [/math] сравнений.

В оптимизированной версии точное количество сравнений зависит от исходного массива. Но точно известно, что их количество не меньше, чем количество обменов, и не больше, чем [math] (n - 1)^2 [/math] — максимальное количество сравнений для данной сортировки. Следовательно, [math] T_1 = O(n^2) [/math].

В итоге получаем [math] T = T_1 + T_2 = O(n^2) + O(n^2) = O(n^2) [/math].

Пример работы алгоритма

Возьмём массив с числами «5 1 4 2 8» и отсортируем значения по возрастанию, используя сортировку пузырьком. Выделены те элементы, которые сравниваются на данном этапе.


Первый проход:

До После Описание шага
5 1 4 2 8 1 5 4 2 8 Здесь алгоритм сравнивает два первых элемента и меняет их местами.
1 5 4 2 8 1 4 5 2 8 Меняет местами, так как 5 > 4
1 4 5 2 8 1 4 2 5 8 Меняет местами, так как 5 > 2
1 4 2 5 8 1 4 2 5 8 Теперь, ввиду того, что элементы стоят на своих местах (8 > 5), алгоритм не меняет их местами.

Второй проход:

До После Описание шага
1 4 2 5 8 1 4 2 5 8
1 4 2 5 8 1 2 4 5 8 Меняет местами, так как 4 > 2
1 2 4 5 8 1 2 4 5 8
1 2 4 5 8 1 2 4 5 8

Теперь массив полностью отсортирован, но неоптимизированный алгоритм проведет еще два прохода, на которых ничего не изменится, в отличии от алгоритма, использующего вторую оптимизацию, который сделает один проход и прекратит свою работу, так как не сделает за этот проход ни одного обмена.

См. также

Ссылки