Формула полной вероятности — различия между версиями
Shersh (обсуждение | вклад) м |
Shersh (обсуждение | вклад) м |
||
| Строка 57: | Строка 57: | ||
'''II.''' Рассмотрим пример из введения. | '''II.''' Рассмотрим пример из введения. | ||
| − | '''Решение.''' Обозначим за событие <tex> A </tex> {{---}} выбрана деталь отличного качества, тогда событие <tex> B_i </tex> {{---}} выбранная деталь изготовлена в | + | '''Решение.''' Обозначим за событие <tex> A </tex> {{---}} выбрана деталь отличного качества, тогда событие <tex> B_i </tex> {{---}} выбранная деталь изготовлена в <tex>i</tex> цехе (где <tex> i ~=~ 1,2,3 </tex>). |
<tex> | <tex> | ||
Версия 03:52, 25 декабря 2013
Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через вероятности его произойти при выполнении гипотез с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:
Из деталей изготовлены в первом цехе, — во втором, а остальные — в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью , второй цех — с вероятностью . Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
Содержание
Теорема
| Определение: |
Полной системой событий называется не более чем счётное множество событий , таких что:
|
В этом случае события ещё называются гипотезами.
| Теорема (формула полной вероятности): |
Вероятность события , которое может произойти только вместе с одним из событий , образующих
полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез. |
| Доказательство: |
|
Так как события образуют полную систему событий, то по определению событие можно представить следующим образом:
События попарно несовместны, значит, события тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем: |
Примеры
I. Условие. Имеются одинаковые урны с шарами. В первой из них находится белых и черных шара, во второй — белых и чёрных, а в третьей — чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?
Решение. Будем считать события выбором урны с соотвествующим номером, а событие — выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:
Теперь найдём вероятность события при выборе каждой урны:
В результате получаем
II. Рассмотрим пример из введения.
Решение. Обозначим за событие — выбрана деталь отличного качества, тогда событие — выбранная деталь изготовлена в цехе (где ).
По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе:
Теперь восползуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:
