Квантовые гейты

Идея квантового компьютера, высказанная Фейнманом (англ. Richard Phillips Feynman) в 1982 году, достаточно проста. Она состоит в построении компьютера на основе квантовых, а не классических элементарных ячеек. Законы квантовой механики, определяющие поведение таких квантовых битов (англ. quantum bit) – кубитов, обеспечивают огромные преимущества (скорость и параллелизм вычислений) квантового компьютера по сравнению с классическим компьютером.

Определение:

Любая логическая операция с кубитами называется квантовым гейтом (англ. quantum gate).

Отличие кубитов от классических битов

Классический компьютер состоит из элементарных ячеек – битов, двум состояниям которых приписываются значения [math]1[/math] или [math]0[/math]. В наборе битов (регистре) записывается и обрабатывается информация в виде двоичных чисел. Один бит имеет два базисных состояния [math]0[/math] и [math]1[/math]. Перебирая эти базисные состояния, можно закодировать двоичное число длиной [math]N[/math]. Например, в системе из трех битов можно записать одну из восьми последовательностей нулей и единиц.

Состояния квантовой системы и их преобразования можно описать используя компактные бра/кет обозначения. Бра и кет (англ. bracket— скобка)— обозначения, введенные Дираком на заре зарождения квантовой механики как удобное средство манипулирования векторами. Кет-векторами [math]\mid x\bigr\rangle[/math] обозначают вектор-столбцы и обычно используют для описания квантовых состояний. В середине скобки, по Дираку, должен помещаться индекс состояния, т.е. величина или набор величин, которые определяют состояние системы.Бра-вектор [math]\left\langle y\right|[/math] обозначает вектор-строку.

В квантовом компьютере кубит – это квантовая система, которая, как и бит, имеет два базисных состояния [math]\mid0\bigr\rangle[/math] и [math]\mid 1\bigr\rangle[/math], но в отличие от бита, кубит может находиться в любом суперпозиционном состоянии [math]\mid q\bigr\rangle=a\mid0\bigr\rangle+b\mid 1\bigr\rangle[/math], где [math]a, b[/math] – комплексные числа, [math]{\left|a\right|^2}+ {\left|b\right|^2}=1[/math]. Таким образом, квантовый бит может принимать бесконечно много значений, но как результат измерения мы получим либо состояние [math]\mid0\bigr\rangle[/math] с вероятностью [math]{\left|a\right|^2} [/math], либо состояние [math]\mid 1\bigr\rangle[/math] с вероятностью [math]{\left|b\right|^2} [/math].

Наиболее важным отличием кубитов от классических битов является не непрерывная природа суперпозиционных состояний, а возможность квантового перепутывания состояний в системе кубитов. В квантовой механике размерность пространства состояний системы в целом есть произведение размерностей пространств состояний отдельных подсистем. Система из [math]N[/math] кубитов имеет [math]2^N[/math] базисных состояний. Произвольное состояние [math]N[/math] кубитов [math]a_1\mid0\bigr\rangle+b_1\mid 1\bigr\rangle)(a_2\mid0\bigr\rangle+b_2\mid 1\bigr\rangle)...(a_n\mid0\bigr\rangle+b_n\mid 1\bigr\rangle)[/math] содержит все возможные бинарные строки (комбинации из нулей и единиц) длиной [math]N[/math]. В приведенном выше примере для [math]N=3[/math] все [math]8[/math] двоичных чисел могут быть закодированы в трех кубитах одновременно. Это становится возможным за счет квантовомеханического перепутывания. Нелокальные корреляции в системе кубитов и обеспечивают экспоненциально большое вычислительное пространство и параллелизм квантовых вычислений.

По числу задействованных кубитов гейты делятся на одно- и многокубитные. Набор [math]N[/math] кубитов составляет квантовый регистр. Гейт переводит одно состояние регистра в другое. Действие гейта на регистр можно записать так: [math]G\mid R\bigr\rangle = \mid R^\prime\bigr\rangle[/math].

Гейты – линейные операции: [math]G(\mid p\bigr\rangle+\mid g\bigr\rangle = G\mid p\bigr\rangle+G\mid g\bigr\rangle[/math].

Демонстрация действия гейта на кубит

Для демонстрации действия гейта на кубиты используют матричную запись гейта или таблицу истинности.

Матрица гейта умножается на столбец весовых коэффициентов регистра и получается новый столбец, соответствующий новому состоянию регистра. В случае, если в действии гейта не участвуют некоторые кубиты, то их и не включают в матрицу, т.e. в матрице записано только реальное действие кубитов.

Таблица истинности отражает действие гейта на базисные состояния. Ее структура имеет следующий вид: по горизонтали записываются слева начальные состояния входящих кубитов, а справа — соответствующие конечные. По вертикали записываются все базисные состояния. Пример матричной записи кубита и таблиц истинности будет дан в таблице ниже.

Также используется графическая форма записи квантовых алгоритмов. Гейты обозначаются некоторыми символами (часто это кружок или квадрат с цифрой или буквой внутри). Кубиты представлены горизонтальными нитями. Действие гейта на кубит показывается путем "нанизывания" гейта на нужный кубит (или несколько кубитов, если это не однобитный гейт). Квантовый алгоритм представляется в виде сети таких гейтов и называется квантовой сетью. Слева в такой сети находятся начальные состояния кубитов, справа — конечные. Действие алгоритма заключается в прохождении кубитов по своим нитям через гейты слева направо.

Описание используемых гейтов

В квантовом случае, как и в теории классических вычислений, любую обратимую унитарную операцию на кубитах можно представить как совокупность базовых операций. Базисом квантовой логики может служить один трехкубитный гейт (например Тоффоли [math](CCNOT)[/math] или Фредкина [math](CSWAP)[/math]) или один однокубитный и один двукубитный гейт (например [math]NOT[/math] и [math]CNOT[/math])

Однокубитный гейт [math]NOT[/math]

Однокубитная логическая операция [math]NOT[/math] переводит [math]\mid q\bigr\rangle=a\mid0\bigr\rangle+b\mid 1\bigr\rangle[/math] в [math]\mid q^\prime\bigr\rangle=b\mid0\bigr\rangle+a\mid 1\bigr\rangle[/math],

т.e. переставляет весовые коэффициенты кубита местами.

Квантовому состоянию кубита соответствует столбец [math]\mid q\bigr\rangle\to \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}[/math].

Поэтому квантовым аналогом классического [math]NOT[/math]-гейта является матрица вида:

[math]X\equiv\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}[/math]

[math]X\times\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b\\ a\end{pmatrix}[/math]

Двукубитный гейт [math]CNOT[/math]

Двубитный гейт [math]CNOT[/math] (англ. Controlled NOT), действующий на двукубитное состояние в общем виде записывается так: [math]CNOT(R_{00} \left | \ 00\right \rangle +R_{01} \left | \ 01\right \rangle +R_{10} \left | \ 10\right \rangle +R_{11} \left | \ 11\right \rangle) = R_{00} \left | \ 00\right \rangle +R_{01} \left | \ 01\right \rangle[/math] [math]+R_{11}\left | \ 10\right \rangle +R_{10} \left | \ 11\right \rangle[/math]

Простейшим двухкубитным контролируемым гейтом в классическом компьютере является [math]CNOT[/math]. В квантовых вычислениях вводится подобный гейт, который имеет два входных кубита и два кубита на выходе. Как и в классическом случае один из пары кубитов называется контролирующим, а второй контролируемым или кубитом-мишенью. Логика выполнения операции при этом определяется следующим образом: если контролирующий кубит находится в состоянии [math]\left |\ 1\right \rangle[/math], тогда контролируемый кубит подвергается квантовой операции [math]NOT[/math], в противном случае контролируемый кубит остается без изменения.

Другие используемые гейты

Кроме упомянутых выше гейтов [math]NOT[/math] и [math]CNOT[/math] в квантовых вычислениях используются также некоторые другие гейты. Их применение не необходимо, но запись алгоритма с их помощью намного проще. На практике часто используются такие гейты: однобитный [math]H[/math] (англ. Hadamard), двубитный [math]S[/math] (англ. swap), трехбитные [math]CCNOT[/math] (гейт Тоффоли), [math] CSWAP[/math] (гейт Фредкина).

Гейт Тоффоли инвертирует кубит [math]B[/math] при условии что значение кубитов [math]A[/math] и [math]C[/math] равны [math]1[/math].

Гейт Фредкина устроен следующим образом: он осуществляет перестановку кубитов [math]B[/math] и [math]C[/math] при условии, что значение кубита [math]A[/math] равно [math]0[/math].

Таблица различных обозначений квантовых гейтов

Название гейта	Графическое обозначение	Матричная запись	Таблица истинности
[math]NOT[/math]		[math]\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}[/math]	[math] \begin{array}{|c|c|} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}[/math]
[math]CNOT[/math]		[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/math]	[math] \begin{array}{|c c|c c|} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array}[/math]
[math]H[/math] (Hadamard)	‎	[math]\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1& 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}[/math]	[math] \begin{array}{|c|c|} 1 &\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{array}[/math]
[math]S[/math] (swap)		[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]	[math] \begin{array}{|c c|c c|} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}[/math]
[math]CCNOT[/math] (Toffoli)		[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 & 0 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0& 0& 0 &0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0& 0 &0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0& 1& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/math]	[math] \begin{array}{|c c c ||c c c|} A & B & C & A' & B' & C'\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}[/math]
[math]CSWAP[/math] (гейт Фредкина)		[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 & 0 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0& 0& 0 &0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0& 0 &0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0& 1& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/math]	[math] \begin{array}{|c c c ||c c c|} A & B & C & A' & B' & C'\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}[/math]

Применение квантовых гейтов

Квантовая модель вычислений позволяет:

• разложить число [math]M[/math] на множители за [math]O(\lg^3 M)[/math],
• сделать полный перебор за [math]{\sqrt{n}}[/math],
• осуществить дискретный алгоритм нахождения логарифма за полиномиальное время,
• создать стойкую криптосистему: если "подслушать" квантовый бит, то он изменится.

Построение квантового компьютера в виде реального физического прибора является фундаментальной задачей физики XXI века. В настоящее время построены только ограниченные его варианты (в пределах 512 кубит).

В 2005 году группой Ю. Пашкина при помощи японских специалистов был построен двухкубитный квантовый процессор на сверхпроводящих элементах.

В ноябре 2009 года физикам из Национального института стандартов и технологий в США впервые удалось собрать программируемый квантовый компьютер, состоящий из двух кубит.

11 мая 2011 года представлен компьютер D-Wave One, созданный на базе 128-кубитного процессора.

В декабре 2012 года представлен новый процессор Vesuvius, который объединяет 512 кубит.

См.также

• Троичная логика
• Контактная схема

Источники информации

• Страхова С.И. "Философия квантовых вычислений"

• Сыч Д.В. "Исследование возможностей реализации квантовых алгоритмов на аналоговых вычислительных машинах

• Гайнутдинова А. Ф. "Квантовые вычисления"

• Ю. Лифшиц "Введение в квантовые вычисления"

• Квантовая криптография стучится в дверь