Контактная схема

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Для математического описания электротехнических устройств, состоящих из контактов и промежуточных реле, функционирующих в дискретные моменты времени применяются контактные схемы. С помощью контактных схем можно представить любую булеву функцию.

Определение:
Контактная схема (англ. contact circuit) представляет собой ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание.


Определение:
Контакт (англ. contact) — ребро схемы, помеченное символом переменной или ее отрицанием. Каждому ребру в схеме сопоставляется какая то переменная (не обязательно каждой переменной сопоставляется ребро)


Принцип работы[править]

Определение:
Замкнутый контакт (англ. closed contact) — контакт схемы, над которым написана [math]1[/math] или значение переменной равно [math]1[/math].


Определение:
Разомкнутый контакт (англ. open contact) — контакт схемы, над которым написан [math]0[/math] или значение переменной равно [math]0[/math].


Пусть [math]u[/math] и [math]v[/math] — два полюса контактной схемы (из вершины [math]u[/math] ребра только выходят, в вершину [math]v[/math] ребра только входят), определяющую функцию [math]g(x_1, x_2 \dots, x_n)[/math]. Тогда [math]g(x_1, x_2 \dots, x_n)[/math] принимает значение [math]1[/math] при таком наборе значений переменных, если можно добраться из [math]u[/math] в [math]v[/math] только по замкнутым контактам.

Построение контактных схем[править]

Представление одного из базисов в контактных схемах[править]

Любую булеву функцию можно представить в виде контактной схемы. Для этого необходимо привести её к ДНФ или КНФ, а затем построить, используя комбинации трех логических элементов:

Конъюнкция
Дизъюнкция
Отрицание

Построение контактных схем[править]

Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует. В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в ДНФ: [math]f=(\neg x \land y \land z) \lor (x \land \neg y \land z) \lor (x \land y \land z)[/math]. Каждой скобке ДНФ соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, определяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, вся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек. Для приведенного примера соответствует схема приведена ниже.

Example10.png

Примеры построения некоторых функций[править]

исключающее "или"
медиана
[math]x \oplus y = (\neg x \land y) \lor (x \land \neg y)[/math] [math] \langle x,y,z \rangle = (x \land y) \lor (x \land z) \lor (y \land z)[/math]

Задача о минимизации контактной схемы[править]

Определение:
Две контактные схемы называются эквивалентными (англ. equivalent contact circuits), если они реализуют одну и ту же булеву функцию.


Определение:
Сложностью контактной схемы (англ. the complexity of the contact circuit) называется число ее контактов.


Определение:
Минимальная контактная схема (англ. minimal contact circuit) — схема, имеющая наименьшую сложность среди эквивалентных ей схем.


Определение:
Дерево конъюнктов для [math]n[/math] переменных — двоичное ориентированное дерево глубиной [math]n[/math], такое что: поддеревья на одном и том же уровне одинаковы; и левое ребро любого узла помечено символом переменной [math]x_k (k \leqslant n)[/math], а правое помечено символом отрицания переменной [math]x_k[/math].


Задача минимизации контактных схем состоит в том, чтобы по данной схеме [math]S[/math] найти схему [math]T[/math] , эквивалентную [math]S[/math] и имеющую наименьшую сложность. Один из путей решения этой задачи состоит в следующем:

  • Осуществляем переход от контактной схемы [math]S[/math] к её булевой функции [math]F(S)[/math].
  • Упрощаем [math]F(S)[/math], то есть отыскиваем функцию [math]G[/math] (на том же базисе, что и [math]F(S)[/math], равносильную [math]F(S)[/math] и содержащую меньше вхождений операций дизъюнкции и конъюнкции. Для этой операции удобно использовать карты Карно.
  • Строим схему [math]T[/math], реализующую функцию [math]G[/math].
Теорема:
Любой булеву функцию можно представить контактной схемой, сложностью [math]O(2^n)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть дана функция [math]f(x_1,x_2 \dots, x_n)[/math] и она представлена в ДНФ

Дерево конъюнктов для 2-х переменных

Возьмем дерево конъюнктов для [math]n[/math] переменных (см. картинку). Очевидно, что от вершины [math]u[/math] до "нижних" вершин дерево можно добраться за [math]O(n)[/math], а ребер у такого дерева [math]O(2^n)[/math]

Соединим нижние вершины, которые соответствуют конъюнктам функции, с вершиной [math]v[/math] контактами, над которыми написана [math]1[/math]. От этого в схему добавится не более, чем [math]2^n[/math] ребер и тогда сложность останется [math]O(2^n)[/math].

В результате можно построить контактную схему для любой функции со сложностью [math]O(2^n)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

См также[править]

Источники информации[править]

  • Контактные схемы
  • Encyclopedia of Math — Contact sheme
  • Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике
  • М. А. Айзерман, Л. А. Гусев, Л. И. Розоноэр И. М. Смирнова, А. А. Таль. Логика, автоматы, алгоритмы.