Специальные формы КНФ

Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в конъюнктивной нормальной форме, то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение [math]1[/math], в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является NP-полной.

КНФ в форме Крома

Определение:

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) в форме Крома (2-КНФ) (англ. 2-CNF) — это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких литералов, количество которых не превышает двух.

Пример :

[math](x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... [/math]

Утверждение:

Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что формулу, заданную в форме Крома, можно удовлетворить.

[math]\triangleright[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Функцию [math]\mathbb{F}[/math] можно задать в форме Крома [math] \iff [/math] выполнено следующее следствие : [math] F(x_1, ..., x_n)=F(y_1, ..., y_n)=F(z_1, ..., z_n)=1 \Rightarrow[/math] [math]F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle)[/math]

КНФ в форме Хорна

Определение:

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)в форме Хорна (англ. Horn clause) — это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.

Пример:

[math] (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \vee \overline x_n)\wedge ...[/math]

Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна.

Любую формулу можно представить в виде КНФ в форме Хорна. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме дизьюнкта Хорна.

Утверждение:

Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна можно удовлетворить.

[math]\triangleright[/math]

Далее будет приведено доказательство, предлагающее алгоритм решения. Шаг 1. Одиночное вхождение переменных. Найдем в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы [math] x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) [/math] такой переменной является [math]x[/math]. Присутствуют одиночно стоящие переменные. Присвоим всем таким переменным значение [math] 1 [/math], если переменная входит без отрицания и [math]0[/math] иначе, так как в конъюнкции они должны дать [math]1[/math]. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в [math] 0 [/math], то решения не существует. Отсутствуют одиночно стоящие переменные. Всем переменным надо присвоить значение [math] 0 [/math] и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение [math]0[/math] мы получим [math] 1[/math] в результате дизъюнкции. В итоге мы получим выражение вида: [math]1\wedge 1 \wedge ... \wedge 1[/math], что в результате даст нам [math] 1[/math]. В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно. Шаг 2. Идем по скобкам и выписываем все встречающиеся нам переменные, кроме тех, с которыми мы работали на предыдущем шаге. Если переменная всегда входит без отрицаний, присваиваем ей значение [math]1[/math], если переменная всегда входит с отрицаниями, присваиваем [math]0[/math]. На данном шаге никакая скобка не может обратиться в [math]0[/math]. Шаг 3. Опустим одиночно стоящие переменные и скобки, в которых значение стало равным [math]1[/math]. Перейдём к [math]1[/math] шагу алгоритма. По определению формы Хорна, в каждой из скобок, где мы опустили переменную не больше [math]1[/math] переменной без отрицания. Либо какая-то из переменных внутри скобки будет иметь отрицание, т.е. при подстановке [math]0[/math] станет равна [math]1[/math], либо мы рассмотрим переменную без отрицания как отдельно стоящую переменную. Значит [math]1[/math] шаг алгоритма выполнится верно. Будем проделывать алгоритм, начиная сначала, пока [math]1[/math] шаг не найдёт ответ. Будем считать, что длиной формулы является количество переменных, входящих в нее, и обозначим ее за [math] N [/math]. Разберём время выполнения каждого из шагов. Первый шаг выполняется за [math]O(N)[/math], так как найти одиночно стоящие переменные можно за линейный проход. Второй шаг выполняется за [math]O(N)[/math], так как выписать, присвоить значения, можно за линейное время. Третий шаг выполняется за [math]O(N)[/math], записать формулу для [math]1[/math] шага можно за линейное время. В итоге, так как каждый из шагов выполняется за время [math]O(N)[/math], а упрощений формулы может быть не больше [math]N[/math] раз, получается сложность [math]O(N^2)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Функцию [math]F[/math] можно задать в форме Хорна [math] \iff [/math] выполнено следующее следствие:[math] F(x_1, ..., x_n)=F(y_1, ..., y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, ..., x_n \wedge y_n)[/math]

См.также

• СКНФ
• 2SAT

Источники информации

• Wikipedia — Horn clause
• Wikipedia — 2-satisfiability