1679
правок
Изменения
м
{{В разработке}}[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
Замечание: для Пусть <tex>X = y \mathbbin V_{Rr}(b)</tex> это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).
: Пусть Для <tex> y \in V_{rr_1}(b)</tex>: <tex> \rho (b, a_ja_1) < r_j, j = 1,2 r_1</tex>: <tex> \exists r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_ja_1) < r_j, j = \overline{1,2}.r_1 </tex># : <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex># Для <tex> V_{r_2} </tex>: <tex> \rho (b, a_2) < r_2</tex>: <tex> \exists r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_2) < r_2 </tex>: <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex>: <tex> r = \min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
<tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>
<tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = x: \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>
{{TODO| t = Написал вроде бы понятное доказательство в обратную сторону. Если есть какие-либо косяки - пишите в обсуждение.}}
: Тогда каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению - <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> - открытое множество), причём, всегда можно выделить такой шар, что <tex> y </tex> является его центром (достаточно положить <tex> r' = r - \rho (x, y) </tex>, где <tex> x </tex> - центр шара, в который входит <tex> y </tex>, а <tex> r </tex> - его радиус). При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>.: Предположим, что это не так, и для какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x): x \in V_r(x) , \, V_r(x) \cap F = \varnothing </tex>: Запишем это формально: <tex> \forall r: F \cap V_r(x) \neq \varnothing</tex>.: Определим следующие последовательности:
: Каждый <tex> x_n \in F, x_n \rightarrow x \Rightarrow \{ x_n \} </tex> - сходящаяся последовательность в <tex> F </tex>: . Но, по предположению, <tex> F </tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а значит <tex> x \in F </tex>.: Получили противоречие, значит <tex> G = \overline F </tex> - открытое множество, а значит <tex> F </tex> - замкнуто.
release
==Метрика и метрическое пространство==
Простым языком: Если два открытых шара пересекаются, то существует открытый шар, лежащий в их пересечении.
|proof=
Замечание: для <tex>X = \mathbb{R}</tex> это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).
}}
<tex> x_n \rightarrow x </tex> в МП <tex>(X, \rho)</tex>, если:
# <tex>\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0\ </tex> , или
#<tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Rightarrow \rho(x_n, x) < \varepsilon </tex>: или: <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>, где <tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>
}}
{{Теорема
В прямую сторону
|statement=
F - замкнуто, если оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. <br />F - замкнуто <tex> \iff Longrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>
|proof=<br />
: Пусть <tex> x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V </tex>
: <tex> x_n \rightarrow x : \forall \varepsilon > 0 \, \exists N \, \forall n > N : x_n \in V </tex> , что противоречит <tex> x_n \in F (F \cap V = \varnothing) \Rightarrow x \in F </tex>
}}
{{Утверждение
|about=
В обратную сторону
|statement=
Если множество F содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто.<br>Если <tex>\forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F \Longrightarrow </tex>F - замкнуто
|proof=
Рассмотрим <tex> x \notin F </tex>. Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Если <tex> G </tex> - открытое, то <tex> F </tex> - замкнутое множество (по определению).
: <tex> r_n = \frac 1n </tex>, <tex> \{ x_n \} : x_n \in (F \cap V_{r_n}(x)) </tex>.
: <tex> r_n \rightarrow 0 \Rightarrow x_n \rightarrow x </tex>.
}}
== См. также ==[[Категорияhttp:Математический анализ 1 курс]//ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%BE%D1%82%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Если интересно - аксиомы отделимости]
