Грани числовых множеств — различия между версиями
м |
Rybak (обсуждение | вклад) м (→Существование грани множества: little fix) |
||
| Строка 32: | Строка 32: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
| − | Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань ( | + | Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (аналогично для А, ограниченного снизу). |
|proof= | |proof= | ||
Пусть M {{---}} множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то <tex> M \ne \varnothing </tex>. | Пусть M {{---}} множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то <tex> M \ne \varnothing </tex>. | ||
| Строка 43: | Строка 43: | ||
#<tex> A \le d \Rightarrow d \in M </tex>. | #<tex> A \le d \Rightarrow d \in M </tex>. | ||
#<tex> d \le M \Rightarrow d </tex> {{---}} наименьшая из верхних границ А. | #<tex> d \le M \Rightarrow d </tex> {{---}} наименьшая из верхних границ А. | ||
| − | Получили, что d - верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А <tex>\Rightarrow d = \sup \, A </tex>. | + | Получили, что d {{---}} верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А <tex>\Rightarrow d = \sup \, A </tex>. |
Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А. | Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А. | ||
}} | }} | ||
Версия 04:36, 2 января 2011
Определения
| Определение: |
| Если , то A называется ограниченным сверху множеством.
называется верхней границей множества А. Если , то A называется ограниченным снизу множеством. называется нижней границей множества А. Если , то A называется ограниченным множеством. |
| Определение: |
| Если — ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется верхней гранью. ("супремум") |
| Определение: |
| Если — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется нижней гранью. ("инфимум") |
Существование грани множества
| Теорема: |
Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (аналогично для А, ограниченного снизу). |
| Доказательство: |
|
Пусть M — множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то . По определению верхней границы: . По аксиоме непрерывности: :
Получили, что d — верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А . Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А. |
Принцип вложенных отрезков
| Определение: |
| Множество называется интервалом или открытым промежутком.
Множество называется отрезком или замкнутым промежутком. Обозначение (промежуток) используется, когда неизвестно включение границ. По аналогии определяются и промежутки типа . |
| Определение: |
| Пусть дана система отрезков:
Тогда эта система отрезков называется вложенной. |
| Утверждение: |
|
Определим следующие числовые множества:
Пусть . и существуют. В силу вложенности отрезков: |
Исходя из определения граней, если:
