Определение булевой функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 427: Строка 427:
  
 
Набор булевых функций <tex>K</tex> является полным тогда и только тогда, когда он не содержится полностью ни в одном из классов <tex> S,M,L,T_0,T_1 </tex>, иными словами, когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.
 
Набор булевых функций <tex>K</tex> является полным тогда и только тогда, когда он не содержится полностью ни в одном из классов <tex> S,M,L,T_0,T_1 </tex>, иными словами, когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.
−
 
 
== Представление булевых функций ==
 
== Представление булевых функций ==
  
Строка 491: Строка 490:
 
<tex>f(x_1,x_2,x_3,x_4) =  1 \oplus x_1  \oplus x_4  \oplus x_1 x_2 \oplus x_1 x_4 \oplus x_2 x_4 \oplus x_1 x_2 x_4 </tex>
 
<tex>f(x_1,x_2,x_3,x_4) =  1 \oplus x_1  \oplus x_4  \oplus x_1 x_2 \oplus x_1 x_4 \oplus x_2 x_4 \oplus x_1 x_2 x_4 </tex>
  
 +
===Тождественные функции. Выражение функций друг через друга===
 +
 +
{{Определение
 +
|definition = '''Тождественные функции''' — функции, которые при любых одинаковых аргументах принимают равные значения.
 +
}}
 +
Приведение тождественной функции есть '''выражение булевой функции через другие'''.
 +
 +
Запись булевой функции в ДНФ, КНФ, а также выражение с помощью полинома Жегалкина — способы выражения одних булевых функций через другие.
 +
{{Пример
 +
|example=Выразим следующие функции через систему функций <tex>\{\land, \lor, \lnot \} </tex>.
 +
 +
<tex> x \oplus y = \left ( x \land \lnot y \right ) \lor \left ( \lnot x \land y \right ) = \left ( x \lor \lnot y \right ) \land \left ( \lnot x \lor y \right )</tex>
 +
 +
<tex> x \downarrow y = \lnot \left ( x \lor y \right) = \lnot x \land \lnot y</tex>
 +
 +
<tex>\langle x, y, z \rangle =  \left ( x \land y \right ) \lor \left ( y \land z \right ) \lor \left ( x \land z \right ) = \left ( x \lor y \right ) \land \left ( y \lor z \right ) \land \left ( x \lor z \right )</tex>
 +
}}
 +
=== Подстановка одной функции в другую ===
 +
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Подстановкой''' (англ. ''substitution'') функции <tex>g</tex> в функцию <tex>f</tex> называется замена <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> значением функции <tex>g</tex>:
 +
 +
<center><tex>h(x_{1}, \ldots, x_{n+m-1}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i-1}, g(x_{i}, \ldots, x_{i+m-1}), x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1})</tex></center>
 +
}}
 +
Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя.
 +
 +
При подстановке функции <tex>g</tex> вместо <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex>, результирующая функция <tex>h</tex> будет принимать аргументы, которые можно разделить на следующие блоки:
 +
 +
{|
 +
|1. <tex> x_{1}, \ldots, x_{i-1}</tex>
 +
|{{---}} аргументы функции <tex>f</tex> до подставленного значения функции <tex>g</tex>
 +
|-
 +
|2. <tex> x_{i}, \ldots, x_{i+m-1}  </tex>
 +
|{{---}} используются как аргументы для вычисления значения функции <tex>g(y_{1}, \ldots, y_{m})</tex>
 +
|-
 +
|3. <tex> x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1} </tex>
 +
|{{---}} аргументы функции <tex>f</tex> после подставленного значения функции <tex>g</tex>
 +
|}
 +
{{Пример
 +
|example=Исходные функции:
 +
#<tex> f(a,b) = a \vee b </tex>
 +
#<tex> g(a)  = \neg a </tex>
 +
 +
<tex> h(a,b) = f(a,g(b)) = a \vee \neg b </tex> {{---}} подстановка функции <tex>g</tex> вместо второго аргумента функции <tex>f</tex>. В данном примере при помощи подстановки мы получили функцию <tex>h(a,b)=a \leftarrow b</tex>.
 +
}}
 +
=== Отождествление переменных ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Отождествлением переменных''' (англ. ''identification of variables'') называется подстановка <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> вместо <tex>j</tex>-того аргумента:
 +
 +
<center><tex>h(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{j-1}, x_{i}, x_{j+1}, \ldots, x_{n})</tex></center>
 +
}}
 +
Таким образом, при отождествлении <tex>c</tex> переменных мы получаем функцию <tex>h</tex> с количеством аргументов <tex>n-c+1</tex>.
 +
{{Пример
 +
|example=<tex> f(a,b) = a \vee b </tex> {{---}} исходная функция
 +
 +
<tex> h(a)  = a \vee a </tex> {{---}} функция с отождествленными первым и вторым аргументами
 +
 +
Очевидно, в данном примере мы получили функцию <tex>P_{1}</tex> {{---}} проектор единственного аргумента.
 +
}}
 
=== Схемы из функциональных элементов ===
 
=== Схемы из функциональных элементов ===
 
{{main|Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов}}
 
{{main|Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов}}
Строка 520: Строка 580:
 
|[[Image:NOR_logic_element.png]]
 
|[[Image:NOR_logic_element.png]]
 
|}
 
|}
 +
 +
==Стандартный базис==
 +
 +
{{Определение
 +
|id = def1
 +
|definition = '''Стандартный базис''' — система булевых функций:
 +
<tex>\{\land, \lor, \lnot \} </tex>
 +
}}
 +
 +
Если рассматривать множество бинарных булевых функций <tex>P_2(2)</tex>, то для выражения любой булевой функции данного множества (кроме стрелки Пирса и штриха Шеффера) через стандартный базис достаточно выразить тождественные функции для эквиваленции, импликации и константы <tex> 0 </tex> с использованием функций, принадлежащих стандартному базису, т. к. все остальные операции можно выразить через данные 3 функции с помощью отрицания:
 +
 +
<tex> x \leftrightarrow y = \left ( x \rightarrow y \right ) \land \left ( y \rightarrow x \right ) </tex>
 +
 +
<tex> x \rightarrow y = \lnot x \lor y </tex>
 +
 +
<tex> 0 = x \land \lnot x </tex>
 +
 +
Функции <tex> \mid \ и \downarrow</tex> являются отрицаниями функций <tex> \land \ и \ \lor</tex> соответственно.
 +
 +
<tex> x \mid y = \lnot \left ( x \land y \right )</tex>
 +
 +
<tex> x \downarrow y = \lnot \left ( x \lor y \right )</tex>
 +
 +
Тождественность функций можно доказать с помощью таблицы истинности.
 +
 +
'''Пример:'''
 +
 +
Выразим через стандартный базис обратную импликацию <tex> \left (x \leftarrow y \right ) </tex>.
 +
 +
<tex>x \leftarrow y = \lnot x \rightarrow \lnot y = x \lor \lnot y </tex>
 +
 +
==Полнота стандартного базиса==
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement = Стандартный базис является [[Полные системы функций. Теорема Поста о полной системе функций|полной системой булевых функций]]
 +
|proof = Данное утверждение - следствие [[СДНФ|теоремы об СДНФ]]. Если рассмотреть функцию, не равную тождественному нулю, то она представима в виде СДНФ, в которой используются функции стандартного базиса. Способ выражения тождественного нуля через функции стандартного базиса уже был описан выше.
 +
}}
 +
 +
'''Замечание:'''
 +
 +
По [[Множества|закону де Моргана]]:
 +
 +
<tex> x \land y = \lnot \left (\lnot x \lor \lnot y \right ) </tex>
 +
 +
<tex> x \lor y = \lnot \left (\lnot x \land \lnot y \right ) </tex>
 +
 +
Следовательно, стандартный базис является избыточным, в то время как безызбыточными являются подмножества системы:
 +
 +
<tex> \{ \land , \lnot \} </tex> (конъюнктивный базис Буля)
 +
 +
<tex> \{ \lor , \lnot \} </tex> (дизъюнктивный базис Буля)
 +
 +
==Теоремы о числе функций в базисе==
 +
{{Теорема
 +
|statement = Максимально возможное число булевых функций в безызбыточном базисе — четыре.
 +
|proof = Рассмотрим произвольный безызбыточный базис <tex> X</tex>. Тогда по [[Полные системы функций. Теорема Поста о полной системе функций|теореме Поста]] <tex>X</tex> содержит следующие функции (не обязательно различные):
 +
 +
<tex>f_0 \notin T_0, f_1 \notin T_1, f_s \notin S, f_m \notin M, f_l \notin L</tex>, где <tex> T_0, T_1, S, M, L</tex> — классы Поста.
 +
 +
Значит, так как <tex>X</tex> — безызбыточный базис, а система <tex>\{f_0, f_1, f_s, f_m, f_l \}</tex> — полная, то <tex>\left | X \right | \le 5</tex>
 +
 +
Рассмотрим <tex>f_0</tex>. Возможны два случая:
 +
 +
1. <tex> f_0(1, 1, \ldots, 1) = 0 </tex>, тогда <tex>f_0</tex> также не сохраняет единицу и немонотонная, т.е.
 +
 +
<tex> f_0 = f_1 = f_m </tex>. Значит, <tex>\left | X \right | \le 3</tex>.
 +
 +
2. <tex> f_0(1, 1, \ldots, 1) = 1 </tex>, тогда <tex>f_0</tex> несамодвойственная, т.е.
 +
 +
<tex> f_0 = f_s </tex>. Значит, <tex>\left | X \right | \le 4</tex>.
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement= Для любого числа <tex>k, 1 \le k \le 4 </tex> найдётся базис <tex> X</tex>, что <tex>\left | X \right | = k</tex>.
 +
|proof=Приведём примеры базисов для каждого <tex>k</tex>:
 +
 +
<tex>k = 1 \Rightarrow X = \{ \downarrow \}</tex>;
 +
 +
<tex>k = 2 \Rightarrow X = \{ \lnot, \land \}</tex>;
 +
 +
<tex>k = 3 \Rightarrow X = \{ \land, \oplus, 1\}</tex>;
 +
 +
<tex>k = 4 \Rightarrow X = \{ 0, 1, x\land y, x\oplus y\oplus z\}</tex>;
 +
 +
Докажем, что последняя система является базисом:
 +
 +
<tex> 0 \notin T_1</tex>;
 +
 +
<tex> 1 \notin T_0</tex>;
 +
 +
<tex> x\land y \notin L\ и\ S</tex>;
 +
 +
<tex> x\oplus y\oplus z \notin M</tex>
 +
 +
(доказывается с помощью таблицы истинности).
 +
}}
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Версия 20:27, 12 ноября 2021

Определение:
Бу́лева фу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебры ло́гики, англ. Boolean function) от [math]n[/math] переменных — отображение [math]B^n\rightarrow B[/math], где [math]B = \{0, 1\}[/math] — булево множество.

Элементы булева множества [math]1[/math] и [math]0[/math] обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определенного смысла. Элементы декартова произведения [math]B^n[/math] называют булевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа переменных часто обозначается [math]P_2[/math], а от n переменных — [math]P_2(n)[/math]. Булевы функции названы так по фамилии математика Джорджа Буля.

Основные сведения

Определение:
А́рность (англ. arity) функции — количество ее аргументов.

Каждая булева функция арности [math]n[/math] полностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех булевых векторах длины [math]n[/math]. Число таких векторов равно [math]2^n[/math]. Поскольку на каждом векторе булева функция может принимать значение либо [math]0[/math], либо [math]1[/math], то количество всех n-арных булевых функций равно [math]{2^2}^n[/math]. То, что каждая булева функция задаётся конечным массивом данных, позволяет представлять их в виде таблиц. Такие таблицы носят название таблиц истинности и в общем случае имеют вид:


Таблица истинности
[math]x_1[/math] [math]x_2[/math] [math]\ldots[/math] [math]x_n[/math] [math]f(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]\ldots[/math] [math]0[/math] [math]f(0,0,\ldots,0)[/math]
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]\ldots[/math] [math]0[/math] [math]f(1,0,\ldots,0)[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]\ldots[/math] [math]0[/math] [math]f(0,1,\ldots,0)[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]\ldots[/math] [math]0[/math] [math]f(1,1,\ldots,0)[/math]
[math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]\ldots[/math] [math]1[/math] [math]f(0,1,\ldots,1)[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]\ldots[/math] [math]1[/math] [math]f(1,1,\ldots,1)[/math]

Практически все булевы функции малых арностей ([math]0, 1, 2[/math] и [math]3[/math]) сложились исторически и имеют конкретные имена. Если значение функции не зависит от одной из переменных (то есть строго говоря для любых двух булевых векторов, отличающихся лишь в значении этой переменной, значение функции на них совпадает), то эта переменная называется фиктивной (англ. dummy variable).

Нульарные функции

При [math]n = 0[/math] количество булевых функций равно [math]{2^2}^0 = 2^1 = 2[/math], первая из них тождественно равна [math]0[/math], а вторая [math]1[/math]. Их называют булевыми константами — тождественный нуль и тождественная единица.

Унарные функции

При [math]n = 1[/math] число булевых функций равно [math]{2^2}^1 = 2^2 = 4[/math].

Таблица значений булевых функций от одной переменной:


Функции от одной переменной
[math]0[/math] [math]x[/math] [math]\neg x[/math] [math]1[/math]
0 [math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math]
1 [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math]
Сохраняет 0 ✓ ✓
Сохраняет 1 ✓ ✓
Самодвойственная ✓ ✓
Монотонная ✓ ✓ ✓
Линейная ✓ ✓ ✓ ✓

Названия булевых функций от одной переменной:

Обозначение Название
[math]0[/math] тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное "НЕТ"
[math]x[/math] тождественная функция, логическое "ДА", "YES"(англ.)
[math]\bar x,\ \neg x,\ x'[/math] отрицание, логическое "НЕТ", "НЕ", "НИ", "NOT"(англ.), "NO"(англ.)
[math]1[/math] тождественная единица, тождественная истина, тождественное "ДА", тавтология

Бинарные функции

При [math]n = 2[/math] число булевых функций равно [math]{2^2}^2 = 2^4 = 16[/math].

Таблица значений булевых функций от двух переменных:

Функции от двух переменных:
x y [math]0[/math] [math]x \land y[/math] [math]x \nrightarrow y[/math] [math]x[/math] [math]x \nleftarrow y[/math] [math]y[/math] [math]x \oplus y[/math] [math]x \lor y[/math] [math]x \downarrow y[/math] [math]x = y[/math] [math]\neg y[/math] [math]x \leftarrow y[/math] [math]\neg x[/math] [math]x \rightarrow y[/math] [math]x \triangledown y[/math] [math]1[/math]
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Сохраняет 0 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
Сохраняет 1 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
Самодвойственная ✓ ✓ ✓ ✓
Монотонная ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
Линейная ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Названия булевых функций от двух переменных:

Обозначение Другие обозначения Название
[math]0[/math] тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное "НЕТ"
[math]x \land y[/math] [math]x \cdot y,\ xy,\ x \And y,\ x\ AND\ y,\ AND(x, y),\ min(x, y), x [/math] И [math]y,[/math] И[math](x, y)[/math] 2И, конъюнкция
[math]x \nrightarrow y[/math] [math]x \gt y,\ \neg(x \rightarrow y),\ x\ GT\ y,\ GT(x,\ y)[/math] больше, инверсия прямой импликации
[math]x[/math] [math]YES1(x,y),[/math] ДА1[math](x, y)[/math] первый операнд
[math]x \nleftarrow y[/math] [math]x \lt y,\ \neg(x \leftarrow y),\ x\ LT\ y,\ LT(x, y)[/math] меньше, инверсия обратной импликации
[math]y[/math] [math]YES2(x, y),[/math] ДА2[math](x, y)[/math] второй операнд
[math]x \oplus y[/math] [math]x + _2 y,\ x \not = y,\ x \gt \lt y,\ x \lt \gt y,\ x\ XOR\ y,\ XOR(x,y)[/math] сложение по модулю 2, не равно, ксор, исключающее «или»
[math]x \lor y[/math] [math]x + y,\ x\ OR\ y,\ OR(x,y),\ max(x,y),[/math] [math]x [/math]ИЛИ [math]y,[/math] ИЛИ[math](x, y)[/math] 2ИЛИ, дизъюнкция
[math]x \downarrow y[/math] [math]x\ NOR\ y,\ NOR(x,y)[/math] [math]x [/math]ИЛИ-НЕ [math]y,[/math] ИЛИ-НЕ[math](x, y)[/math] НЕ-2ИЛИ, 2ИЛИ-НЕ, антидизъюнкция, функция Да́ггера, функция Ве́бба, стрелка Пи́рса
[math]x = y[/math] [math]x \equiv y, x EQV y, EQV(x,y), x \sim y, x \leftrightarrow y[/math] равенство, эквивалентность
[math]\neg y[/math] [math]NOT2(x, y),\ y',\ \bar{y},[/math] НЕ2[math](x, y)[/math] отрицание (негация, инверсия) второго операнда
[math]x \leftarrow y[/math] [math]x \geq y,\ x \subset y,\ x\ GE\ y,\ GE(x, y)[/math] больше или равно, обратная импликация (от второго аргумента к первому)
[math]\neg x[/math] [math]NOT1(x,y),\ x',\ \bar{x},[/math] НЕ1[math](x, y)[/math] отрицание (негация, инверсия) первого операнда
[math]x \rightarrow y[/math] [math]x \leq y,\ x \supset y,\ x\ LE\ y,\ LE(x,y)[/math] меньше или равно, прямая (материальная) импликация (от первого аргумента ко второму)
[math]x \triangledown y[/math] [math]x \mid y,\ x\ NAND\ y,\ NAND(x,y),[/math] [math]x [/math] И-НЕ [math]y,[/math] И-НЕ[math](x, y)[/math] НЕ-2И, 2И-НЕ, антиконъюнкция, Штрих Шеффера
[math]1[/math] тождественная единица, тождественная истина, тождественное "ДА", тавтология

Тернарные функции

При [math]n = 3[/math] число булевых функций равно [math]{2^2}^3 = 2^8 = 256[/math]. Некоторые из них определены в следующей таблице:

Таблица истинности некоторых тернарных функций
[math]x[/math] [math]y[/math] [math]z[/math] [math]x \downarrow y \downarrow z[/math] [math]\neg (\geq 2(x,y,z))[/math] [math]x \not = y \not = z[/math] [math]x \mid y \mid z[/math] [math]min(x,y,z)[/math] [math]x=y=z[/math] [math]x \oplus y \oplus z[/math] [math]\geq 2(x,y,z)[/math] [math]f_1[/math] [math]f_2[/math] [math]max(x,y,z)[/math]
0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

Названия булевых функций трех переменных:

Обозначения Другие обозначения Названия
[math]x \downarrow y \downarrow z[/math] [math]\downarrow (x,y,z) = Webb_2 (x,y,z)[/math] 3-ИЛИ-НЕ, функция Вебба, функция Даггера, стрелка Пирса
[math]\neg (\geq 2(x,y,z))[/math] Переключатель по большинству с инверсией, 3-ППБ-НЕ, мажоритарный клапан с инверсией
[math]x \not = y \not = z[/math] [math][\not =(x,y,z)] = NE(x,y,z)[/math] Неравенство
[math]x \mid y \mid z[/math] [math]\mid(x,y,z)[/math] 3-И-НЕ, штрих Шеффера
[math]x \land y \land z[/math] [math]\land (x,y,z) = (x\ AND\ y\ AND\ z) = AND(x,y,z) = min(x,y,z) = \lt br/\gt (x[/math] И[math] y[/math] И[math] z) = [/math] И[math](x,y,z)[/math] 3-И, минимум
[math]x=y=z[/math] [math][=(x,y,z)] = EQV(x,y,z)[/math] Равенство
[math]x \oplus y \oplus z[/math] [math]x +_2 y +_2 z = \oplus (x,y,z) = +_2 (x,y,z)[/math] Тернарное сложение по модулю 2
[math]\geq 2(x,y,z)[/math] [math](x [/math] И [math]y) [/math]ИЛИ [math](y[/math] И[math] z)[/math] ИЛИ [math](z [/math]И[math] x)[/math] переключатель по большинству, 3-ППБ, мажоритарный клапан
[math]f_1[/math] Разряд займа при тернарном вычитании
[math]f_2[/math] Разряд переноса при тернарном сложении
[math]x+y+z[/math] [math]+(x,y,z) = max(x,y,z) = (x\ OR\ y\ OR\ z) = OR(x,y,z) = (x [/math] ИЛИ[math] y [/math] ИЛИ[math] z) = [/math] ИЛИ[math](x,y,z)[/math] 3-ИЛИ, максимум

Представление функции формулой

Определение:
Если выбрать некоторый набор булевых функций [math]A[/math], то с использованием выбранных функций можно записать некоторые другие булевы функции. Такая запись булевой функции называется формулой (англ. formula).

Например, если [math]A = \left\{\land,\neg\right\}[/math], то функция [math]a \lor b[/math] представляется в виде [math]\neg(\neg a \land \neg b)[/math]

Тождественность и двойственность

Определение:
Две булевы функции тождественны (англ. identical) друг другу, если на любых одинаковых наборах аргументов они принимают равные значения.

Тождественность функций f и g можно записать, например, так:
[math]f(x_1, x_2, \dots, x_n)=g(x_1, x_2, \dots, x_n)[/math]

Просмотрев таблицы истинности булевых функций, легко получить такие тождества:

[math]\overline{0}=1[/math] [math]\overline{1}=0[/math] [math]\overline{\overline{x}}=x[/math] [math]x \land y=y \land x\![/math] [math]x\lor y=y \lor x[/math]
[math]0 \land x=0\![/math] [math]1 \land x=x\![/math] [math]0 \lor x=x[/math] [math]1\lor x=1[/math] [math]x \land x=x \lor x=x[/math]

А проверка таблиц, построенных для некоторых суперпозиций, даст следующие результаты:

[math]x \land \overline{x}=0[/math] [math]x \lor \overline{x}=1[/math]
[math]\overline{x \land y}=\overline{x}\lor\overline{y}[/math] [math]\overline{x}\land\overline{y}=\overline{x\lor y}[/math] (законы де Моргана)

[math]x \land (y\lor z)=(x \land y)\lor (x \land z)[/math]
[math]x \lor (y \land z)=(x\lor y) \land (x\lor z)[/math] (дистрибутивность конъюнкции и дизъюнкции)


Определение:
Функция [math]g(x_1,x_2,\dots,x_n)[/math] называется двойственной (англ. duality) функции [math]f(x_1,x_2,\dots,x_n)[/math], если [math]f(\overline{x_1},\overline{x_2},\dots,\overline{x_n})=\overline{g(x_1,x_2,\dots,x_n)}[/math].

Легко показать, что в этом равенстве [math]f[/math] и [math]g[/math] можно поменять местами, то есть функции [math]f[/math] и [math]g[/math] двойственны друг другу. Из простейших функций двойственны друг другу константы [math]0[/math] и [math]1[/math], а из законов де Моргана следует двойственность конъюнкции и дизъюнкции. Тождественная функция, как и функция отрицания, двойственна сама себе.

Если в булевом тождестве заменить каждую функцию на двойственную ей, снова получится верное тождество. В приведённых выше формулах легко найти двойственные друг другу пары.

Суперпозиции

Основная статья: Суперпозиции
Определение:
Суперпозиция функций, композиция функций (англ. function composition) — функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.

Множество всех возможных не эквивалентных друг другу суперпозиций данного множества функций образует замыкание данного множества функций.

Пусть нам дан некоторый набор булевых функций [math]K[/math]. Получить новую функцию, являющеюся композицией функций из [math]K[/math], мы можем следующими способами:

  • Подстановкой одной функции в качестве некоторого аргумента для другой;
  • Отождествлением аргументов функций.

Полнота системы, критерий Поста

Основная статья: Теорема Поста о полной системе функций
Определение:
Замыкание множества функций (англ. сlosure) — подмножество всех булевых функций, что любую из этих функций можно выразить через функции исходного множества.


Определение:
Множество булевых функций называется полной системой (англ. complete set), если замыкание этого множества совпадает с множеством всех функций.

Американский математик Эмиль Пост [1] сформулировал необходимое и достаточное условие полноты системы булевых функций. Для этого он ввел в рассмотрение следующие замкнутые классы булевых функций:

  • функции, сохраняющие константу [math]T_0[/math] и [math]T_1[/math],
  • самодвойственныые функции [math]S[/math],
  • монотонные функции [math]M[/math],
  • линейные функции [math]L[/math].

Набор булевых функций [math]K[/math] является полным тогда и только тогда, когда он не содержится полностью ни в одном из классов [math] S,M,L,T_0,T_1 [/math], иными словами, когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.

Представление булевых функций

Теорема Поста открывает путь к представлению булевых функций синтаксическим способом, который в ряде случаев оказывается намного удобнее чем таблицы истинности. Отправной точкой здесь служит нахождение некоторой полной системы функций [math]\Sigma = \{f_1,\ldots,f_n\}[/math]. Тогда каждая булева функция сможет быть представлена некоторым термом в сигнатуре [math]\Sigma[/math], который в данном случае называют также формулой. Относительно выбраной системы функций полезно знать ответы на следующие вопросы:

  • Как построить по данной функции представляющую её формулу?
  • Как проверить, что две разные формулы эквивалентны, то есть задают одну и ту же функцию?
    • В частности: существует ли способ приведения произвольной формулы к эквивалентной её канонической форме, такой что, две формулы эквивалентны тогда и только тогда, когда их канонические формы совпадают?
  • Как по данной функции построить представляющую её формулу с теми или иными заданными свойствами (например, наименьшего размера), и возможно ли это?

Положительные ответы на эти и другие вопросы существенно увеличивают прикладное значение выбранной системы функций.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Основная статья: ДНФ
Определение:
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) (англ. disjunctive normal form, DNF) — нормальная форма, в которой булева функция задана как дизъюнкция некоторого числа простых конъюнктов.

Любая булева формула благодаря использованию закона двойного отрицания, закона де Моргана и закона дистрибутивности может быть записана в ДНФ.

Примеры ДНФ:

[math]f(x,y,z) = (x \land y) \lor (y \land \neg {z})[/math].

[math]f(x,y,z,t,m) = (x \land z) \lor (y \land x \land \neg{t}) \lor (x \land \neg {m}) [/math].

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Основная статья: КНФ
Определение:
Конъюнктивная нормальная форма, КНФ (англ. conjunctive normal form, CNF) — нормальная форма, в которой булева функция имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.

Любая булева формула с помощью использования закона двойного отрицания, закона де Моргана и закона дистрибутивности может быть записана в КНФ.

Пример КНФ:

[math]f(x,y,z) = (x \lor y) \land (y \lor \neg{z})[/math]

[math]f(x,y,z,t) = (x \lor t) \land (y \lor \neg{t}) \land (\neg{t} \lor \neg{z}) \land (\neg{x} \lor \neg{y} \lor z)[/math]

[math]f(x,y,z,t,m) = (x \lor m \lor \neg{y}) \land (y \lor \neg{t}) \land (y \lor t \lor \neg{x})[/math]

Полином Жегалкина

Основная статья: Полином Жегалкина
Определение:
Полином Жегалкина (англ. Zhegalkin polynomial) — полином с коэффициентами вида [math]0[/math] и [math]1[/math], где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или.

Полином Жегалкина имеет следующий вид:

[math]P = a_{000\ldots000} \oplus a_{100\ldots0} x_1 \oplus a_{010\ldots0} x_2 \oplus \ldots \oplus a_{00\ldots01} x_n \oplus a_{110\ldots0} x_1 x_2 \oplus \ldots \oplus a_{00\ldots011} x_{n-1} x_n \oplus \ldots \oplus a_{11\ldots1} x_1 x_2 \ldots x_n [/math]

С помощью полинома Жегалкина можно выразить любую булеву функцию, так как он строится из следующего набора функций: [math]\bigl\langle \wedge, \oplus, 1 \bigr\rangle[/math], который, в свою очередь, по теореме Поста является полным.

Примеры:

[math]f(x_1,x_2) = 1 \oplus x_1 \oplus x_1 x_2 [/math]

[math]f(x_1,x_2,x_3) = x_1 \oplus x_1 x_2 \oplus x_2 x_3 [/math]

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = 1 \oplus x_1 \oplus x_4 \oplus x_1 x_2 \oplus x_1 x_4 \oplus x_2 x_4 \oplus x_1 x_2 x_4 [/math]

Тождественные функции. Выражение функций друг через друга

Определение:
Тождественные функции — функции, которые при любых одинаковых аргументах принимают равные значения.

Приведение тождественной функции есть выражение булевой функции через другие.

Запись булевой функции в ДНФ, КНФ, а также выражение с помощью полинома Жегалкина — способы выражения одних булевых функций через другие.

Пример:
Выразим следующие функции через систему функций [math]\{\land, \lor, \lnot \} [/math].

[math] x \oplus y = \left ( x \land \lnot y \right ) \lor \left ( \lnot x \land y \right ) = \left ( x \lor \lnot y \right ) \land \left ( \lnot x \lor y \right )[/math]

[math] x \downarrow y = \lnot \left ( x \lor y \right) = \lnot x \land \lnot y[/math]

[math]\langle x, y, z \rangle = \left ( x \land y \right ) \lor \left ( y \land z \right ) \lor \left ( x \land z \right ) = \left ( x \lor y \right ) \land \left ( y \lor z \right ) \land \left ( x \lor z \right )[/math]

Подстановка одной функции в другую

Определение:
Подстановкой (англ. substitution) функции [math]g[/math] в функцию [math]f[/math] называется замена [math]i[/math]-того аргумента функции [math]f[/math] значением функции [math]g[/math]:
[math]h(x_{1}, \ldots, x_{n+m-1}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i-1}, g(x_{i}, \ldots, x_{i+m-1}), x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1})[/math]

Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя.

При подстановке функции [math]g[/math] вместо [math]i[/math]-того аргумента функции [math]f[/math], результирующая функция [math]h[/math] будет принимать аргументы, которые можно разделить на следующие блоки:

1. [math] x_{1}, \ldots, x_{i-1}[/math] — аргументы функции [math]f[/math] до подставленного значения функции [math]g[/math]
2. [math] x_{i}, \ldots, x_{i+m-1} [/math] — используются как аргументы для вычисления значения функции [math]g(y_{1}, \ldots, y_{m})[/math]
3. [math] x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1} [/math] — аргументы функции [math]f[/math] после подставленного значения функции [math]g[/math]
Пример:
Исходные функции:
  1. [math] f(a,b) = a \vee b [/math]
  2. [math] g(a) = \neg a [/math]
[math] h(a,b) = f(a,g(b)) = a \vee \neg b [/math] — подстановка функции [math]g[/math] вместо второго аргумента функции [math]f[/math]. В данном примере при помощи подстановки мы получили функцию [math]h(a,b)=a \leftarrow b[/math].

Отождествление переменных

Определение:
Отождествлением переменных (англ. identification of variables) называется подстановка [math]i[/math]-того аргумента функции [math]f[/math] вместо [math]j[/math]-того аргумента:
[math]h(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{j-1}, x_{i}, x_{j+1}, \ldots, x_{n})[/math]

Таким образом, при отождествлении [math]c[/math] переменных мы получаем функцию [math]h[/math] с количеством аргументов [math]n-c+1[/math].

Пример:
[math] f(a,b) = a \vee b [/math] — исходная функция

[math] h(a) = a \vee a [/math] — функция с отождествленными первым и вторым аргументами

Очевидно, в данном примере мы получили функцию [math]P_{1}[/math] — проектор единственного аргумента.

Схемы из функциональных элементов

Основная статья: Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов
Определение:
Схема из функциональных элементов, логическая схема (англ. logic diagram) — размеченный ориентированный граф без циклов, в некотором базисе [math]B[/math], в котором:

1. вершины, в которые не входят ребра, называются входами схемы, и каждая из них помечена некоторой переменной (разным вершинам соответствуют разные переменные);

2. в каждую из остальных вершин входит одно или более ребер (зависит от выбранного базиса [math]B[/math]). Такие вершины называются функциональными элементами и реализуют какую-либо булеву функцию из базиса [math]B[/math].

Отождествление переменных осуществляется при помощи ветвления проводников.

Чтобы осуществить подстановку одной функции в другую нужно выход логического элемента, который реализует первую функцию, направить на вход логического элемента, который реализует вторую функцию.

Некоторые логические элементы:

И ИЛИ НЕ Штрих Шеффера Стрелка Пирса
AND logic element.png OR logic element.png NOT logic element.png NAND logic element.png NOR logic element.png

Стандартный базис

Определение:
Стандартный базис — система булевых функций: [math]\{\land, \lor, \lnot \} [/math]


Если рассматривать множество бинарных булевых функций [math]P_2(2)[/math], то для выражения любой булевой функции данного множества (кроме стрелки Пирса и штриха Шеффера) через стандартный базис достаточно выразить тождественные функции для эквиваленции, импликации и константы [math] 0 [/math] с использованием функций, принадлежащих стандартному базису, т. к. все остальные операции можно выразить через данные 3 функции с помощью отрицания:

[math] x \leftrightarrow y = \left ( x \rightarrow y \right ) \land \left ( y \rightarrow x \right ) [/math]

[math] x \rightarrow y = \lnot x \lor y [/math]

[math] 0 = x \land \lnot x [/math]

Функции [math] \mid \ и \downarrow[/math] являются отрицаниями функций [math] \land \ и \ \lor[/math] соответственно.

[math] x \mid y = \lnot \left ( x \land y \right )[/math]

[math] x \downarrow y = \lnot \left ( x \lor y \right )[/math]

Тождественность функций можно доказать с помощью таблицы истинности.

Пример:

Выразим через стандартный базис обратную импликацию [math] \left (x \leftarrow y \right ) [/math].

[math]x \leftarrow y = \lnot x \rightarrow \lnot y = x \lor \lnot y [/math]

Полнота стандартного базиса

Утверждение:
Стандартный базис является полной системой булевых функций
[math]\triangleright[/math]
Данное утверждение - следствие теоремы об СДНФ. Если рассмотреть функцию, не равную тождественному нулю, то она представима в виде СДНФ, в которой используются функции стандартного базиса. Способ выражения тождественного нуля через функции стандартного базиса уже был описан выше.
[math]\triangleleft[/math]

Замечание:

По закону де Моргана:

[math] x \land y = \lnot \left (\lnot x \lor \lnot y \right ) [/math]

[math] x \lor y = \lnot \left (\lnot x \land \lnot y \right ) [/math]

Следовательно, стандартный базис является избыточным, в то время как безызбыточными являются подмножества системы:

[math] \{ \land , \lnot \} [/math] (конъюнктивный базис Буля)

[math] \{ \lor , \lnot \} [/math] (дизъюнктивный базис Буля)

Теоремы о числе функций в базисе

Теорема:
Максимально возможное число булевых функций в безызбыточном базисе — четыре.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольный безызбыточный базис [math] X[/math]. Тогда по теореме Поста [math]X[/math] содержит следующие функции (не обязательно различные):

[math]f_0 \notin T_0, f_1 \notin T_1, f_s \notin S, f_m \notin M, f_l \notin L[/math], где [math] T_0, T_1, S, M, L[/math] — классы Поста.

Значит, так как [math]X[/math] — безызбыточный базис, а система [math]\{f_0, f_1, f_s, f_m, f_l \}[/math] — полная, то [math]\left | X \right | \le 5[/math]

Рассмотрим [math]f_0[/math]. Возможны два случая:

1. [math] f_0(1, 1, \ldots, 1) = 0 [/math], тогда [math]f_0[/math] также не сохраняет единицу и немонотонная, т.е.

[math] f_0 = f_1 = f_m [/math]. Значит, [math]\left | X \right | \le 3[/math].

2. [math] f_0(1, 1, \ldots, 1) = 1 [/math], тогда [math]f_0[/math] несамодвойственная, т.е.

[math] f_0 = f_s [/math]. Значит, [math]\left | X \right | \le 4[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Для любого числа [math]k, 1 \le k \le 4 [/math] найдётся базис [math] X[/math], что [math]\left | X \right | = k[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведём примеры базисов для каждого [math]k[/math]:

[math]k = 1 \Rightarrow X = \{ \downarrow \}[/math];

[math]k = 2 \Rightarrow X = \{ \lnot, \land \}[/math];

[math]k = 3 \Rightarrow X = \{ \land, \oplus, 1\}[/math];

[math]k = 4 \Rightarrow X = \{ 0, 1, x\land y, x\oplus y\oplus z\}[/math];

Докажем, что последняя система является базисом:

[math] 0 \notin T_1[/math];

[math] 1 \notin T_0[/math];

[math] x\land y \notin L\ и\ S[/math];

[math] x\oplus y\oplus z \notin M[/math]

(доказывается с помощью таблицы истинности).
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Примечания

  1. ↑ Эмиль Пост

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Определение_булевой_функции&oldid=81241»